第十章 机械波
横波 ut
G ，G F S
F
S
固
（切变模量） F
体
切变
中 纵波 ul
E ，E F S F
l l
（杨氏模量）
F l 线变 l
地震波 ul ut
第八讲 平面简谐波的波函数
第十ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 机械波
5 波线 波面 波前 波前 波面振动状态(位相)相同的点连成的面
*
相邻波面间距
为一个波长
球 面 波 波线
第十章 机械波
点 O 振动方程
y A
u
x
yO Acos(t )
O
A
u
波 y Acos[(t x) ]
函
u
u 沿 x 轴正向
数 Acos[(t 2 x / ) ]
u 沿x 轴负向, 波函数如何写？
y Acos[(t x) ] Acos[t 2 x / ]
u
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例2 如图示，已知： y0 Acos t，波长为 ，
入
全 反射波在S处相位改变。
y0 =Acosω t
反 S
0 x (l- x)
反 射 壁
求：反射波函数 y( x, t)
解： 全反射， A不变。
l
y(x,t) Acos[ t l 2 l x 2 ]
Acos[ t x 2 2l 2 ]
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos
2
π
(
t
x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振
动初相位（ ( π ~ π ) ）
y
t =0
y
A
u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
第八讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本物理量
第十章 机械波
波长λ: 在波线上相邻的两个振动状态完全相同的点之间的距离 周期T: 振动状态或者相位传播一个波长的距离所需要的时间 相速u: 相位的传播速度, 即单位时间内相位传播的距离
由图可知:
A 1m 12m T 12 1.2s
u 10
关键确定
0
3
y0
A cos(t
0 )
cos( 5
3
t
)
3
波动方程
第十章 机械波 u 10m/s
8 11 14 x / m
2 5 rad/s
T3
3
o
y
y cos[5 (t x) ] cos[5 (t x ) ]
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y Acos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播, π )
T
y Acos(t x) (向x 轴负向传播 , π )
u
2）平面简谐波的波函数为
y
Acos(Bt
Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
t=T/4
O
O
A
A
o π a π/2
另解:t=T/4时O点的相位：
t 0 π/2
(2 / T)(T / 4) π/2
O
0 π
b
a
c
x
b 0 c π/2
y
y
A
u
t=T/4
A
O
b
a
c
x
A
第八讲 平面简谐波的波函数
例1. t=0时的波形如图所示
y/m
（1）写出波动方程。
1
0.5
解（1）先写O点振动方程 0 2 5
波函数的另外几种常见表示式：
y Acos( t kx ) ，k 2
y
A
cos
2
t T
x
+
——波数
(wave number)
y Aei( t kx) （Re）
Aei( e kx) i(t )
空间因子 振动因子 （复振幅）
（Re）
了解
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
三 波函数的物理意义
特征：具有交替出现的密部和疏部.
第八讲 平面简谐波的波函数
水表面的波是什么波？
既非横波又非纵 波。而是纵波与 横波的合成
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点： （1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
tT
波动方程如何？
0.5
6
解：关键是求o点的初位相 0
6 25
8
方法1：t=0.2s= T 波形
6
t
0
3
2
T
T 6
0
3
11 14 x / m
0 0
yo
cos( 5
3
t)
y cos[5 (t x )]
3 10
方法2：将波形倒退
得出
6
t 0波形，再写方程！
0 0
…..
第八讲 平面简谐波的波函数
2
1
u
( x2
x1 )
2
( x2
x1 )
2
( x1
x2 )
2
12
(5 11)
反位相
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（3）画 t 3T 4 时波形曲线，此刻 x 2m处质点振动位
移、速度和加速度？
1
y
/
m
t
0
u
10m/s
t 3T
0.5
4
0 2 5 8 11 14 x / m
位移: y cos[5 (t - x ) ] cos[5 (3T - 2 ) ] cos 3 0
想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
第八讲 平面简谐波的波函数
四、举例 两种题型
第十章 机械波
1. 已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法）
2. 已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点（波源），写出其振动方程。 根据时间推迟法或相位落后法，写出波动方程。
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第八讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1) 时间推迟方法
点 O 振动方程
第十章 机械波
yO Acos(t ) t x u
点P
点O在t-x/u 时刻的相位
P点在t时刻的相位
点P 振动方程 yP Acos[(t x / u) ]
波函数 y Acos[(t x / u) ]
λ = uT T 取决于波源的性质，u 取决于介质的特性。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u RT ， —— 比热比
M
p
液体中 u K ，
p V+ V p
K P
V V
（体积模量）
p 体变
F
弹性绳上的横波 u
l
第八讲 平面简谐波的波函数
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第八讲 平面简谐波的波函数
一、波动的几个概念
第十章 机械波
波动是振动的传播. 振动是激发波动的源.
1 机械波: 机械振动在介质中的传播
波源
+ 弹性作用
介质
波的传播：
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
x
（t+△t，x+ △x）质点振动状态=（t，x）质点振动状态
y Acos[(t x) ] Acos{[(t Δt) (x Δx)] }
u
u
x uΔt
振动状态在△t时间传播了u△t 距离，波形以速度u传播。
平面波
研究波动抓住一条波线研究即可。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
二 平面简谐波的波函数
简谐波——最简单、最基本的波 平面简谐波——波阵面是平面的简谐波
1 波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y y(x,t)
3 u3
3 10 3
(SI)
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（2）求 x1 5m, x2 11m 两处质点振动位相差。
y/m
1
u 10m/s
0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / m
x1 处
y1
A cos[ (t
x1 u
)
0
]
x2处
y2
A cos[ (t
-
x2 u
)
0 ]
位相差:
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
x x1 y Acos[(t x1 ) ]
初位相为 x的1 振 动u方程