1 .(2010 浙江绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△ OAB 为此函数的坐标三角形31 )求函数y=x+ 3 的坐标三角形的三条边长;32 )若函数y=x+ b ( b 为常数)的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积【答案】3解:(1)∵ 直线y=x+ 3 与x轴的交点坐标为(4,0),与y 轴交点坐标为(0,3),4∴函数y=x+ 3 的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.4(2)直线y=3x+ b 与x 轴的交点坐标为( 4b ,0),与y 轴交点坐标为(0,b),434 5 32当b>0 时,b b b 16 ,得 b =4 ,此时,坐标三角形面积为;33 34 5 32当b<0 时, b b b 16 ,得 b = - 4 ,此时, 坐标三角形面积为.33 3综上,当函数y= 3 x+ b 的坐标三角形周长为16 时,面积为32.432..(2010 江西)已知直线经过点( 1 ,2)和点(3,0),求这条直线的解读式.解:设这直线的解读式是y kx b(k 0),将这两点的坐标 (1, 2) 和 (3,所以,这条直线的解读式为 y x 3 .3.( 2010 北京) 如图,直线 y =2 x +3 与 x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点 B .⑴ 求 A , B 两点的坐标;kb 3k b 2, ,解1, 3,⑵ 过 B 点作直线BP与x轴相交于P,且使OP=2OA,求ΔABP 的面积.【答案】解(1)令y=0,得x= 3∴ A点坐标为(3,0).22令x=0 ,得y=3∴ B 点坐标为(0 ,3).(2)设P 点坐标为(x,0),依题意,得x= ± 3.∴P 点坐标为P1(3,0)或P2(-3,0).1 3 27∴S △ABP1= (3) 3 =22 4139S△ABP2= (3 ) 3= .22427 9∴△ ABP 的面积为27或9 .444.(2010 湖北随州)某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度v(M/ 秒)与时间t(秒)的关系如图a,A(10 ,5),B(130,5),C(135 ,0).(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式;(2)计算该同学从家到学校的路程(提示:在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度,路程=平均速度×时间);(3)如图b,直线x=t(0≤t≤135 ),与图 a 的图象相交于P、Q,用字母S 表示图中阴影部分面积,试求S 与t 的函数关系式;(4)由(2)(3),直接猜出在t 时刻,该同学离开家所超过的路程与此时S 的数量关(.1v t (0 t 10)【答案】 ( 1 ) v 5 (10 t 130)v 135 t (130 t 135)( 2) 2.5×10+5 × 120+2 ×5=635( M)12S t2 (0 t 10)( 3)S 5t 25 (10 t 130) 12S t2+135t-8475 (130 t 135)(4) 相等的关系5.(2010 陕西西安)某蒜薹(tái)生产基地喜获丰收,收获蒜薹200 吨,经市场调查,可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式,并且按这三种方式销售,计划每吨平均的售价及成本如下表:销售方式批发零售储藏后销售售价(元/吨) 3 000 4 500 5 500成本(元/吨)700 1 000 1 200若经过一段时间,蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y(元),蒜薹零售x(吨),1且零售量是批发量的.3( 1 )求y 与x 之间的函数关系式;( 2 )由于受条件限制,经冷库储藏售出的蒜薹最多80 吨,求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。
( 1 )由题意,得批发蒜薹3x 吨,储藏后销售(2004x)吨,则y 3x (3000 700) x (4500 1000) (200 4x) (5500 1200)6800x 860000.(2)由题意,得200 4x 80.解之,得x 30.y 6800x 860000, 6800 0.y的值随x的值增大而减小.∴当x 30时, y最大值6800 30 860000 656000.∴该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656 000 元。
6.(2010 陕西西安)问题探究( 1 )请你在图①中作一条..直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分;( 2 )如图②,点M 是矩形ABCD 内一定点,请你在图②中过点M 作一条直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。
问题解决( 3 )如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中CD//OB ,OB=6 ,BC=4 ,CD=4 。
开发区综合服务经管委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处,为了方便驻区单位,准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽度不计),并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分,你认为直线l 是否存在?若存在,求出直线l 的表达式;若不存在,请说明理由。
( 1 )如图①,作直线 DB ,直线 DB 即为所求。
(所求直线不唯一,只要过矩形对称中心的直线均可)2 )如图②,连接AC 、 DB 交于点 P ,则点 P 为矩形 ABCD 的对称中心,作直线直线 MP 即为所求3 )如图③,存在符合条件的直线 l ,过点 D 作 DA ⊥ OB 于点 A , 则点P ( 4, 2)为矩形 ABCD 的对称中心∴过点 P 的直线只要平分 DOA 的面积即可。
易知,在OD 边上必存在点 H ,使得直线 PH 将 DOA 面积平分,从而,直线PH 平分梯形 OBCD 的面积。
即直线 PH 为所求直线 l.PH 与线段 AD 的交点 F 的坐标为 (2,2 2k ),0 2 2k 4.1 k 1.12 4k 1 1S DHF (4 2 2k) (2 ) 2 4.DHF2 2 k 2 2MP ,设直线 PH 的表达式为 y kx b, 且点 P(4,2)2 4k b,即 b 2 4k.OD 的表达式为 y 2 x.kx 2 2x.4k, 解之,2 4k 2k 4 8k 2kH 的坐标为 2 4k 4 8k2 k ,2 k).解之,得 k 13 3.(k13 3不合题意 , 舍去 )22b 8 2 13.13 3∴直线 l 的表达式为y x 8 2 13.27.( 2010 江西省南昌) 已知直线经过点(1,2)和点(3,0 ) ,求这条直线的解读式.【答案】解:设这条直线的解读式为 y kx b ,把两点的坐标( 1 , 2) , ( 3, 0)代入,k b 2, 3k b 0.k 解得b所以,这条直线的解读式为 y x 3.8 . ( 2010 湖北襄樊)为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价13% 的政府补贴.某市农机公司筹集到资金130 万元,用于一次性购进 A 、 B 两种型号的收割机共 30 台.根据市场需求,这些收割机可以全部销售,全部销售后利润不少于 15 万元.其中,收割机的进价和售价见下表:设公司计划购进 A 型收割机 x 台,收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万元.1, 3.( 1 )试写出y与x 的函数关系式;(2)市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择?3)选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大?最大利润是多少?此种情况下,购买这 30 台收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元?( 1 ) y =(6 - 5.3) x +(4 - 3.6)(30 - x )=0.3 x +12 .2)依题意,有5.3x (30 x ) 3.6≤130, 0.3x 12≥ 15.16 x ≤ 12 ,17 x ≥ 10. 1610≤x ≤12 .17∵ x 为整数,∴ x =10 , 11 , 12. 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择:方案1 :购 A 型收割机10 台,购 B 型收割机 20 台; 方案2 :购 A 型收割机11 台,购 B 型收割机 19 台;方案3 :购 A 型收割机12 台,购 B 型收割机 18 台. ( 3)∵ 0.3 0> ,∴一次函数 y 随 x 的增大而增大. 即当 x =12 时, y 有最大值, y 最大 =0.3 × 12+12=15.6 (万元) . 此时, W=6× 13%× 12+4 × 13%×18=18.72 (万元) . 9 . ( 2010 江苏镇江) 运算求解在直角坐标系 xOy 中,直线l 过( 1 , 3)和( 3,1 )两点,且与 x 轴, y 轴分别交于 A , B 两点 . ( 1 )求直线 l 的函数关系式; ( 2 )求△AOB 的面积 .( 1 )设直线 l 的函数关系式为y kx b (k 0),1分)3k b 1,把( 3 , 1 ),( 1 ,3)代入①得( 2 分)k b 3,k 1,解方程组得( 3 分)b 4.∴直线l 的函数关系式为y x 4. ②( 4 分)(2)在②中,令x 0,得y 4, B(0,4),令y 0,得x 4, A(4,0)( 5 分)11S AOB AO BO 4 4 8. ( 6 分)2210 .(2010 贵州贵阳)如图7,直线与x轴、y 轴分别交于A、 B 两点.( 1 )将直线AB 绕原点O 沿逆时针方向旋转90 °得到直线A1 B1 .请在《答题卡》所给的图中画出直线A1B1 ,此时直线AB 与A1B1的位置关系为(填“平行”或“垂直”)( 6 分)2)设(1)中的直线AB 的函数表达式为y1 k1x b1,直线A1B1 的函数表达式为y2 k2x b2,则k1 ·k2=. ( 4 分)(图 7)( 1 )如图所示,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3分垂直⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2)- 111 . ( 2010 宁夏回族自治区) 如图,已知:一次函数: yx 4 的图像与反比例函数:形 NN 1ON 2的面积为 S 2;1 )若设点M 的坐标为 (x , y ),请写出S 1 关于 x 的函数表达式,并求 x 取何值时,大值;A 110 分2y (x 0) 的图像分别交于 A 、 B 两点,点x 点,过 M 分别向 x 轴、 y 轴作垂线,垂足分别为M 是一次函数图像在第一象限部分上的任意一M 1、 M 2,设矩形 MM 1OM 2的面积为 S ;点S 1 的最(2)观察图形,通过确定【答案】(1)S1x( x 4)分2= (x 2)24当x 2时,S1最大值分(2)∵S2 22由S1 S2可得:x 4x2x24x 2 0 x 的取值,试比较S1、S2 的大小.2x 4x ------------------------- 2 4 --------------------------- 42通过观察图像可得:当x 2 2 时,S1 S2当0 x 2 2或x 2 2 时,S1 S2当 2 2 x 2 2时,S1 S2 ----------------------------------- 8 分12 .(2010 湖北咸宁)在一条直线上依次有A、B、 C 三个港口,甲、乙两船同时分别从A、B 港口出发,沿直线匀速驶向C 港,最终达到 C 港.设甲、乙两船行驶x(h )后,与.B.港.的距离...分别为y1、y2(km ),y1 、y2与x 的函数关系如图所示.( 1 )填空:A、 C 两港口间的距离为km , a ;(2)求图中点P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;(3)若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时x解:(1 )120 ,a 2 ;⋯⋯2 分(2)由点(3,90)求得,y2 30x.当x> 0.5 时,由点(0.5,0),(2,90)求得,y1 60x 30 .⋯⋯3 分当y1 y2 时,60x 30 30x,解得,x 1 .此时y1 y2 30.所以点P 的坐标为(1,30).⋯⋯5 分该点坐标的意义为:两船出发 1 h 后,甲船追上乙船,此时两船离B 港的距离为30 km .⋯6 分求点P 的坐标的另一种方法:由图可得,甲的速度为30 60 (km/h ),乙的速度为90 30 (km/h ).0.5 330则甲追上乙所用的时间为30 1 (h).此时乙船行驶的路程为30 1 30(km ).60 30所以点P 的坐标为( 1 ,30 ).3)①当x≤ 0.5时,由点(0,30),(0.5,0)求得,y1 60x 30.2依题意,( 60x 30) 30x≤ 10 .解得,x≥.不合题意.⋯⋯7 分3②当0.5< x≤1 时,依题意,30x (60x 30)≤ 10 .解得,x ≥ .所以≤ x ≤ 1 .⋯⋯8 分33③当x> 1 时,依题意,(60x 30) 30x≤ 10 .解得,x≤ 4.所以1<x≤ 4 .⋯⋯9 分33综上所述,当 2 ≤ x ≤ 4 时,甲、乙两船可以相互望见.⋯⋯分103313 .(2010 青海西宁)如图12,直线y=kx-1 与x轴、y 轴分别交与B、 C 两点,tan ∠ OCB=1 .2 ( 1 )求 B 点的坐标和k 的值;( 2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-1 上的一个动点.当点 A 运动过程中,试写出△AO的面积B S 与x 的函数关系式;( 3)探索:1①当点 A 运动到什么位置时,△AOB 的面积是 1 ;4②在①成立的情况下,x 轴上是否存在一点P,使△ POA是等腰三角形.若存在,请写出满足条件的所有P 点的坐标;若不存在,请说明理由.( 1 )∵y= kx-1 与y 轴相交于点C,∴ OC=11 OB 1∵ tan ∠ OCB= ∴ OB=2 OC 21B 点坐标为:, 02把 B 点坐标为: 1 , 0 代入 y= kx-1 得 k=2211S =2213)①当 S = 时,4x=1 , y=2x-1=11A 点坐标为( 1 , 1 )时,△ AOB 的面积为4②存在 .满足条件的所有 P 点坐标为:P 1(1,0), P 2(2,0), P 3( 2 ,0), P 4(2 ,0). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分414 . ( 2010 新疆乌鲁木齐)如图 6,在平面直角坐标系中,直线l : y x 4分别交3x 轴、 y 轴于点A 、B ,将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°后得到△ A ′OB ′( 1 )求直线 A ′B ′的解读式; ( 2 )若直线A ′B ′与直线 l 相交于点,求△ ABC 的面积。