切线长定理与三角形内切圆
【知能点分类训练】
知能点1 切线长定理
1．如图所示，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）． A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OC D．∠PAB=∠APB
(第1题) (第2题) (第3题)
2．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于D，•E，•交AB 于C，图中互相垂直的线段有______．（只需写出一对线段）
3．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F 作⊙O的切线，交PA，PB分不于D，E，假如PO=10cm，∠APB=40°．求：
（1）△PED的周长；（2）∠DOE的度数．
4．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，依照以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
知能点2 三角形内切圆
5．如图所示，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D，E，F为切点，若∠BOC=105°，则∠A=________，∠ABC=________．
(第5题) (第6题) (第7题)
6．如图所示，等边△ABC的内切圆面积为9 ，则△ABC的周长为__________．
7．如图所示，△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分不相切于点D，•E，•F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．
8．如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O．
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系．
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系．
【综合应用提高】
9．如图所示，⊙O分不切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=•b，AB=c．求：（1）AD，DE，CF的长；（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？
10．如图所示，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地现预备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．（不写作法，保留作图痕迹）
11．如图所示，⊙I是Rt△ABC（∠C=90°）的内切圆，⊙I和三边分不切于点D，E，F．（1）求证：四边形IDCE是正方形；（2）设BC=a，AC=b，AB=C，求内切圆I的半径．
12．如图24-103所示，⊙O的外切四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠A=∠B=90°．（1）试讲明OC⊥OD；（2）若CD=4cm，∠BCD=60°，求⊙O的半径．
【开放探究创新】
13．如图所示，OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB．
操作：在OB上任取一点P（P不与点O，B重合），AP的延长线交⊙O于点C，过点C•作⊙O的切线CD，交OB延长线于点D．
探究：在图中找出一组相等的线段（半径除外），并证明你得到的结论．
【中考真题实战】
14．（潍坊）如下左图所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B•分不为切点，∠APB=120°，OP=10cm，则弦AB的长为（）．
A．53cm B．5cm C．103cm D．53
cm
15．（河北）如上右图所示，一个圆球放置在V形架中，图（2）是它的平面示意图，CA和CB差不多上⊙O的切线，切点分不是A，B．假如⊙O的半径为3，且AB=6cm，求∠ACB的度数．
1．D
2．PD ⊥AB （或OA ⊥AP ，OB ⊥PB ）
3．解：如右图所示，（1）连接AO ，则OA ⊥PA ．
PA=2222106PO OA -=-=8．
∵PA ，PB 为切线，A ，B 为切点，EF ，EB ，DF ，DA 均与⊙O 相切， ∴PA=PB ，DA=DF ，FE=BE ．
∴△PED 的周长=PE+EF+FD+PD=PA+PB=2PA=16（cm ），即△PED 的周长为16cm ．
（2）由切线长性质知：∠AOD=∠DOF ，∠EOF=∠EOB ，
∴∠DOE=
12∠AOB=12（180°-∠APB ）=1
2
（180°-40°）=70°． 4．如右图所示，结论：①∠3=∠4；或∠7=∠8；或∠1=∠6；或∠2=∠5；
②OP ⊥AB ；•③AC=BC ．
证明②：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP=∠OBP ．又OA=OB ，OP=OP ． ∴△OAP ≌△OBP ，
∴PA=PB ，∠3=∠4，∴OP ⊥AB ． 5．30° 60° 6．3
7．解：连接IE ，IF ，则∠A=180°-∠FIE=180°-2∠FDE=40°． 8．解：（1）如本题图，∠A 为⊙O 中BC 所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=1
2
∠BOC ． ∵I 是△ABC 的内心， ∴∠IBC=
12∠ABC ，∠ICB=1
2
∠ACB ． ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB ）=180°
-（
12∠ABC+1
2
∠ACB ） =180°-
12（180°-∠A ）=90°+1
2
∠A ． （2）由（1）得∠BIC=90°+12∠A=90°+12×12∠BOC=90°+1
4
∠BOC ．
9．解：（1）设AD=x ，BE=y ，CF=z ，由切线长性质可知：
AD=AF ，BD=BE ，CE=CF ．
则有,,,,,2b c a x z x y c a c b y z a y z z x b a b c z +-⎧=⎪+=⎧⎪
+-⎪⎪
+==⎨⎨⎪⎪
+=⎩+-⎪
=⎪⎩
解得
即AD=
,22b c a a c b BE +-+-=
，CF=2
a b c
+-． （2）如右图所示，设⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分不为D ，E ，F ，
连接OD ，OE ，OF ，则OD ⊥AC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ．
∵∠C=90°，∴四边形ODCE 为正方形，则CD=CE=r ，AD=AF=b-r ，BF=BE=a-r ， 而AF+BF=c ，∴b-r+a-r=c ，∴r=
2
a b c
+-． 10．作三角形绿地的内心即可．（作图略） 提示：三角形的内心到各边的距离相等． 11．证明：（1）∵BC ，AC 与⊙I 相切于D ，E ， ∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°， ∴四边形IDCE 为矩形．
又IE=ID ，∴矩形IDCE 是正方形． （2）由（1）得CD=CE=r ．
∴a+b=BD+AE+2r=BF+AF+2r=c+2r ， ∴r=
1
2
（a+b-c ）． 12．解：（1）∵AD ∥BC ， ∴∠BCD+∠ADC=180°，
∵∠ODC=
12∠ADC ，∠OCD=1
2
∠BCD ， ∴∠ODC+∠OCD=12∠ADC+1
2
∠BCD=90°，
∴OC ⊥OD ．
（2）作DE ⊥BC ，则ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径， 在Rt △DEC 中，∠DEC=90•°，•∠ECD=60°，CD=4cm ， ∴CE=
1
2
CD=2cm ，22CD CE -3cm ． ∴⊙O 3．
13．解：PD=CD ．
理由：连接OC ，∵CD 切⊙O 于C ， ∴OC ⊥CD ．又OA=OC ， ∴∠OCA=∠A ，
∴∠CPD=∠APO=90°-∠A ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴PD=CD ．
14．A 提示：连OA ，OB ，则△AOB 为等边三角形，
由直角三角形中30•°角所对的直角边等于斜边的一半可得PA=5，
再由勾股定理22OP PA -33cm ）．
15．解：如右图所示，连接OC ，交AB 于点D ．
∵CA ，CB 是⊙O 的切线，∴CA=CB ， OC 平分∠ACB ，
∴OC ⊥AB ，∵AB=6，∴BD=3，
∴2222
(23)3OB BD -=-3
∴OD=
1
2
OB ， ∴∠OBD=30°，∠BOD=60°．
∵B 是切点，∴OB ⊥BC ，∴∠OCB=30°，∴∠ACB=60°．
提示：在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30．。