第3课时切线长定理和三角形的切圆知识点 1 切线长定理1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图24－2－34A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠12．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )图24－2－35A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )图24－2－36A．50° B．65° C．100° D．130°4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．图24－2－37知识点 2 三角形的切圆5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( )图24－2－38A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )图24－2－39A．130° B．120° C．100° D．90°7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．图24－2－408．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )图24－2－41A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．图24－2－4211．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．图24－2－4312．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．图24－2－4413．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数．图24－2－4514．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE 的面积．图24－2－4615．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC 为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．图24－2－47教师详解详析1．D2．B [解析] 根据切线长定理，得PA ＝PB. 又∵∠APB ＝60°，∴△ABP 为等边三角形， ∴AB ＝PA ＝8.故选B .3．A [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°. ∵∠AOB ＝2∠C ＝130°，∴∠P ＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A . 4．1 [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线， ∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，∠PAO ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝30°. ∵PO ＝2，∴AO ＝1. 5．B6．A [解析] ∵点O 是△ABC 的切圆的圆心， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A ＝90°＋40°＝130°.7．解：根据切线长定理，得AE ＝AF ，BF ＝BD ，CE ＝CD. 设AF ＝AE ＝x cm ，则CE ＝CD ＝(26－x)cm ，BF ＝BD ＝(18－x)cm . ∵BC ＝28 cm ，∴BD ＋CD ＝28 cm ， 即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x ＝8， 则18－x ＝10，26－x ＝18，∴AF 的长为8 cm ，BD 的长为10 cm ，CE 的长为18 cm .8．C [解析] 如图，连接OA ，OB ，则OA ，OB 分别是∠CAB 与∠CBA 的平分线，∴∠EAO ＝∠OAB.∵EF ∥AB ，∴∠EOA ＝∠OAB ， ∴∠EOA ＝∠EAO ，∴AE ＝EO.同理可得：FO ＝BF ，∴EF ＝AE ＋BF.故选C .9．6 [解析] 根据勾股定理，得斜边长为82＋152＝17，则该直角三角形能容纳的圆形(切圆)半径r ＝8＋15－172＝3(步)，即直径为6步．10．133[解析] 连接OE ，OF ，ON ，OG ，如图．设MN ＝x ，DN ＝y ，根据切线长定理可得GM ＝MN ＝x ，ED ＝DN ＝y ，AE ＝AF ＝5－y ，FB ＝BG ＝y －1，CM ＝6－(x ＋y)．在Rt △DMC 中，DM 2＝CM 2＋CD 2，即(x ＋y)2＝[6－(x ＋y)]2＋42，解得x ＋y ＝133，即DM ＝133.11．解：(1)证明：如图，连接OB. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ， ∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ， 即∠PAO ＝∠PBO. ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°，即OB ⊥PB. 又∵OB 是⊙O 的半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)如图，连接OP.∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB.又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA.∵PA＝3，根据勾股定理，得AO＝1，∴⊙O的半径为1.12．解：(1)如图所示，则⊙P为所求作的圆．(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP.设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得AB＝BP2－AP2＝（2x）2－x2＝3x. ∵AB＝3，∴3x＝3，解得x＝ 3.∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.13．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD 的周长＝PD ＋CD ＋PC ＝PD ＋BD ＋PC ＋CA ＝PB ＋PA ＝2PA ＝12，∴PA ＝6， 即PA 的长为6.(2)∵∠P ＝60°，∴∠PCE ＋∠PDE ＝120°， ∴∠ACD ＋∠CDB ＝360°－120°＝240°. ∵CA ，CE ，DB ，DE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE ＝∠OCA ＝12∠ACD.∠ODE ＝∠ODB ＝12∠CDB ，∴∠OCE ＋∠ODE ＝12(∠ACD ＋∠CDB)＝120°，∴∠COD ＝180°－120°＝60°. 14．解：设DE ＝x cm ，则CE ＝(4－x)cm . ∵CD ，AE ，AB 均为⊙O 的切线， ∴EF ＝CE ＝(4－x)cm ，AF ＝AB ＝4 cm ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝(8－x)cm . 在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(8－x)2＝42＋x 2，解得x ＝3. ∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝12×4×3＝6(cm 2)．15．解：(1)∠APB ＝2∠BAC. 理由：∵PA ，PB 为⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB.在等腰三角形APB 中，由“三线合一”，得PF ⊥AB ， ∴∠PFA ＝∠PFB ＝90°， ∴∠APO ＋∠PAB ＝90°. ∵PA 切⊙O 于点A ，实用文档∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠BAC.(2)存在．当四边形PAOB是正方形时，PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB，∴12PO·AB＝PA·PB，即12PO2＝PA2，12PO2＝16，∴PO＝4 2.这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4 2.。