专 题2 数列知识网络图解一、数列的概念、性质例①若数到{αn }满足αn+1= 若α1=67则α2009的值为（ ）A.67 B.57 C.37 D.17②αn 则数列{αn }最大项为（ ）A. α1B. α45C. α44D. α2007③通项为αn =n 2－α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ，0≤αn ＜1212≤αn ＜1 2αn －1，要点 热点 探究例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A B =7453n n ++，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( )（2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ）（3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________（4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39()1212112121*(21)7(21)45122172131(21)21,2,3,5,11n n n n n n n na a n a A nb b b B n n n az n N n b ----+•--+ ====++-++•- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200211200200200100222A C a a a a a a s ,B,∴+=++=•=•=•=Q 三点共线()65466511113180366()180362163618324182n n n n nn n nn s s a a a s a a a a a a a a a s n n n --- -=++⋯+= =++⋯+= ∴+=+= +=+∴ =•== ∴= ()12111121121211131914102902213192902922S a a n n a S n a a a a S a ++== ∴= ∴=++=•=+ ∴==奇偶中间项为又例2等差数列{αn }的前n 项和为S n ，α1=1，S 3=9+（1）求数列{αn }的通项αn ，与前n 项和S n ；（2）设b n =ns n(*)n N ∈，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列 【解析】（1）由已知得故αn =2n －1，S n =n （n ） （2）证明：由（1）得b n =ns n= n 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ,q ,r 互不相等)成等比数列，则2q b =b p b r , 即 (q )2=（p ）（），∴（q 2－pr ）＋（2 q －p －r =0∵p ，q ，r ∈N ·,∴ ∴2()2p r += pr ，即（p －r ）2=0，∴p =r ，这与p ≠r 矛盾 ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列 变式 已知数列{αn }中，α1=12，点（n ，2αn+1－αn ）在直线y=x 上，其中n =1，2，3… （1）令b n =αn+1－αn －1，求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{αn }的通项；（3）设S n ，T n 分别为数列{αn }，{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{n nS T nλ+}为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

解（1）αn+2－αn+1－1=12(αn+1－αn －1) （2）α1=12，2α2－α1=1 α2=12（1＋α1）=34α2－α1－1=3131424--=- b n =αn+1－αn -1=34-·（12）n+1 αn ＋1-αn =1－3(12)n+1T n =13322n +-+ S n =233322n n n -+- α1＋13α1+3d =9+∴d =2 q 2－pr =0 2 q －p －r =021333332222n n n s Tn n n n λλλ++-=+--+ ∴存在2λ=使32n s Tn n n λ+-={32n -}等差 例3 已知数列{αn }为等差数列，公差d ≠0，由{αn }中的部分项组成的数列12b b a a ，，…，n b a ，…为等比数列，其中b 1=1，b 2=5，b 3=17（1）求数列{b n }的通项公式；（2）记T n =123123nn n n n n C b C b C b b +++…+C ，求T n解（1）∵25117aa a =⨯ ∴2111(4)(16)a d a a d +=+∴12a d = ∴25111143b b a a a dq a a a +==== 又1113(1)n bn n a a a b d ===+-∴11113(1)2n n a a a b -=+- ∴b n =－1（2）11212(33+n n n T C C =+…+13)n n n C -－（1)n n n C +…+C=1+23（12233n n C C +-+…03)(n n n n C C +-+…)n n C =02212(333n n C C +++…+3)2n n n n C - =12(13)233n n++- =2112233n n ++- 变式 （理）设数列{αn }的首项α1=α≠14，且αn+1=记b n =α2n －1-14n =1，2，3，…（1）求α2，α3;（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求lim n →∞（b 1＋b 2＋…+ b n ）(文)数列{αn }的前n 项和为S n ，且α1=1, αn+1=13n s ，n =1，2，3，…求： （1）α2，α3，α4的值及数列{αn }的通项公式； （2）α2+α4+α6＋…+α2n 的值 三、简单递推数列与数列求和12αn ， n 为偶数 αn ＋14，n 为奇数探究点一 基本求和问题例1（1）已知数列{αn }为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和:111na a i i i ∑+= （2）已知α＞0且α≠1数列{αn }是首项为α，公比边也为α的等比数列，令b n =αn ·1ga n（n ∈N ），求数列{αn }的前n 项和S n （3）已知f 、（x ）=193x+求'f （0）'1()f n ++…+'()n f n （4）数列{αn }满足αn =解：（1）11n n a a + （2）2lg [1(1)](1)n a an na a a -+-- （3）∵当121x x +=时，f 、（x 1）+ f 、（x 2）=1212129961393(99)9x x x x x x +++=+++ 令n s = f 、（0）'1()f n ++…+'()nf nn s ='()n f n '1()n f n-+…'f （0）∴2n s =['f （0）+'()n f n ](n+1)=13(n+1) ∴s n =16n +（4）当n=2k 时 s n = s 2k =(α1+α3+…+α2k-1)+( α2+α4+…+α2k )=222222424343k n n k ++--+=+ 当n=2k+1时s n = s 2k+1= s 2k +α2k+1=222243k k +-++2k+1=12124()23n n +--+∴s n =例2 数列{αn }中,α1=8，α4=2且满足αn+2=2αn+1-αn ，n ∈N （1）求数列{αn }的通项公式； （2）设S n =12a a ++…n a ，求S n ； （3）设1(*)(12)n bn n N n a =∈-，12n T b b =++…+ b n (*)n N ∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意(*)n N ∈，均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 解析 （1）αn =8－2（n －1）=10－2n （2）由αn =10－2n ≥0 得n ≤5 n ≤5时 S n =α1+α2+…+αn =8 n +(1)2n n -（－2）=9n －n 2 n ,2n ,n 为奇数 n 为偶数11242()23n n +--+，n 为奇数222443n n +-+，n 为偶数n ＞5时 S n =α1+α2+…+α5－α6－α7－…－αm =（α1+α2+…αn ）－2（α1+…＋α5）=9 n 2－n 2－40∴ （3）b n =12(1)n n + m ＜32·12（1－111123+-+…111n n -+）m ＜16（111n -+） m ＜16（112-）=8 ∴m 的最大值为7探究点二 用叠加法、累乘法、迭代法求通项公式例3（1）已知数列{αn }满 足α1=1，αn =αn －1+ n （n ≥2）则αn =______（2）已知数列{αn }满足α1=2，αn =αn －1·2 n －1（n ≥2），则αn =_____ （3）在数列{αn }中α1=3，αn ＋1=2n a (*)n N ∈，则αn =_____解（1）()()2122221()22332n n n n n --++探究点三 构造新数列，转化为等差、等比数列问题 例4（1）在数列{αn }中，若α1=1，αn ＋1=2αn +3（n ≥1），则该数列的通项αn =____(2) 在数列{αn }中，若α1=1，αn ＋1=2αn +3n+1（n ≥1），则该数列的通项αn =_____ (3) 在数列{αn }中，若α1=3, αn ＋1=323nn a a +(*)n N ∈则该数列的通项αn =_____(4)已知数列{αn }满足x 1=3, x 2=32, x n =12（x n -1+ x n -2），n =3,4…，则数列{x n }的通项公式为____ 112112()11122111221121()2n n n n n n n n x Ax B x Ax A A B A B B AB x x x x ------ -=-⎧=+=⎧⎧⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨=-⎪⎪⎪==-⎩⎩⎪⎩ -=--解（4）令 则或 若A= B=-则∴112121122n n n n x x x x --- +=+=若A=- B=1 则112()2n n x -∴=+-S n = 9 n －n 2n =59 n 2＋n 2-40 n ＞5=…=()212111322n n x x =-⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21132x x =+=L探究点四 归纳——猜想——证明例5数列{αn }满足αn ＋1=2，αn ＞0，且（n +1）2n a +1n n a a +－21n na +=0，又数列{b n }满b n =121n -+（1）求数列的通项αn 和前n 项和S n（2）求数列{b n }的前n 项和T n （3）比较S n 与T n 的大小【解答】（1）∵αn ＞0(*)n N ∈，且（n +1）2n a +1n n a a +-21n na +=0，∴（n +1）2()()011a a nnn a a n n +-=++∴11a n a n =-+或1n n +， ∵αn ＞0(*)n N ∈ ∴11n n a n a n +=+ ∴121223n n n n n n n a a a a a a a a -----=⨯⨯⨯ (32)21a a a a ⨯=12123n n n n n n --⨯⨯⨯---…2231n ⨯= 又α1=2， 所以，αn =2n ∴S n =α1+α2+…+αn =2(1+2+…+n )= n 2+ n（2）∵b n =2n-1+1 T n = b 1+ b 2+…+ b n =（2°+21+…2n -1）+ n =2n+ n －1(3)T n -S n =2n －n 2－1当n=1时，T 1－S 1=21-12-1=0 ∴T 1= S 1； 当n=2时，T 2－S 2=22-22-1=-1 ∴T 2＜S 2当n=3时，T 3－S 3=23-32-1=-2 ∴T 3＜S 3；当n=4时，T 4－S 4=24-42-1=-1， ∴T 4＜S 4；当n=5时，T 5－S 5=25-52-1=6 ∴T 5＜S 5；当n=6时，T 6－S 6=26-62-1=27， ∴T 6＜S 6.猜想：当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1.下用数学归纳法证明； ①当n=5时，前面已验证成立；②假设n=k （k ≥5）时命题成立，即2k ＞k 2＋1成立，那么当n=k ＋1（k ≥5）时， 2k+1=2·2k＞2·(k 2+1)= k 2+ k 2+2≥k 2+5 k +2＞k 2+2 k +2=( k +1)2+1. 即n=k ＋1（k ≥5）时命题也成立由①②可知，当k ≥5时，有T n = S n ; 综上可知：当n =1时，T 1= S 1;当2≤n ＜5时，T n ＜S n 当n ≥5时，有T n ＞S n 。