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高考大题三角函数题型汇总精华(含答案解释)

【模拟演练】
1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝⎛⎭
⎫π
4=0,
其中a ∈R ,θ∈(0,π).
(1)求a ,θ的值; (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4=-25,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,求sin ⎝⎛⎭⎫α+π3的值.
2、[2014·北京卷16] 函数f (x )=3sin ⎝

⎭⎪⎫2x +π6的部分图像如图所示.
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值;
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π
2,-π12上的最大值和最小值.
3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ).
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π4的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.
4、( 06湖南)如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)证明 sin cos 20αβ+=; (2)若
求β的值.
B
D
C
α
β A

5、(07福建)在ABC △中,1tan 4
A =
,3
tan 5B =.
(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若ABC △最大边的边长为17,求最小边的边长.
6、(07浙江)已知ABC △的周长为21+,且sin sin 2sin A B C +=.
(I )求边AB 的长; (II )若ABC △的面积为1
sin 6
C ,求角C 的度数.
7、(07山东)如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒
方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?
8、(2013年全国新课标2)在ABC ∆中,c b a ,,C B A 所对的边分别为,,角,已知
B c
C b a sin cos +=
(1)求B ;
(2)若b=2, 求ABC S ∆的最大值。

9、(2016年北京高考)在ABC ∆中,ac b c a 22
22+=+
(1)求角B 的大小;
(2)C A cos cos 2+求的最大值。

10、(2016绥化模拟)在ABC ∆中,232cos 2--x x C 是方程的一个根。

(1)求角C ;
(2)当a+b=10时,求ABC ∆周长的最小值。

11、(2014年陕西高考)在ABC ∆中,c b a ,,C B A 所对的边分别为,,角。

(1)若c b a ,,成等差数列,证明sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若c b a ,,成等比数列,求cosB 的最小值。

【模拟演练参考答案】
1、解:(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,而y 1=a+2cos 2x 为偶函数,所以
y 1=()cos 2x θ+ 为奇函数,又()0,θπ∈,
得.2
πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+()
. 由04=⎪⎭

⎝⎛πf ,得-(a+1)=0,即 1.a =- (2)由(1)得:()1
sin 4,2
f x x =-因为
12sin 425f αα⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
,得4sin ,5α=
又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
,所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝⎭ 2、解:(I )()f x 的最小正周期为π,076x π
=
,03y =. (II )因为[,]2
12
x π
π
∈-
-
,所以52[,0]6
6
x π
π
+
∈-
, 于是当206
x π
+
=,即12
x π
=-
时,()f x 取得最大值0;
当26
2
x π
π
+
=-
,即3
x π
=-
时,()f x 取得最小值3-.
3、解:(1)5555(
)2cos (sin cos )4444f ππππ=+2cos (sin cos )444
πππ
=---2=
(2)因为2
()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14
x π
=
++.
所以22
T π
π=
=. 由 222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈,得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 4、[解] (1).如图3,
(2)2,sin sin(2)cos 22
22
π
π
π
απββαββ=
--=-
∴=-=-,
即sin cos 20αβ+=.
(2).在ABC ∆中,由正弦定理得
,.sin sin sin()sin sin DC AC DC βααπβαβ
=⇒=∴=-
由(1)得sin cos 2αβ=-,2
sin 22sin ),βββ∴==-
即2sin0.sin sin
23
ββββ
-===-
解得.
0,sin.
23
ππ
βββ
<<∴=⇒=
5、解:(Ⅰ)π()
C A B
=-+,
13
45
tan tan()1
13
1
45
C A B
+
∴=-+=-=-
-⨯
.又0π
C
<<,
3
π
4
C
∴=.
(Ⅱ)
3
4
C=π,AB
∴边最大,即AB=
又tan tan0
A B A B
π
⎛⎫
<∈ ⎪
2
⎝⎭
,,,,∴角A最小,BC边为最小边.

22
sin1
tan
cos4
sin cos1
A
A
A
A A

==


⎪+=




π
2
A
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭

,得sin A=

sin sin
AB BC
C A
=得:
sin
2
sin
A
BC AB
C
==BC=
6、解:(I)由题意及正弦定理,得1
AB BC AC
++=,BC AC
+=,两式相减,得1
AB=.
(II)由ABC
△的面积
11
sin sin
26
BC AC C C
=,得
1
3
BC AC=,
由余弦定理,得
222
cos
2
AC BC AB
C
AC BC
+-
=
22
()21
22
AC BC AC BC AB
AC BC
+--
==,所以60
C=.
7、解:如图,连结12A B
,22A B =
1220
60
A A =
⨯= 122A A B ∆是等边三角形,1121056045B A B ∠=︒-︒=︒,
在121A B B ∆中,由余弦定理得
22212111211122
2
2cos 4520220200
B B A B A B A B A B =+-⋅︒
=+-⨯⨯=,
12B B =
60=
答:乙船每小时航行海里.
8、(I )4
π
=
B (2)12+
9、(I )4
π
=
B (2)1
10、(I )
3

(2)3510+ 11、(I )正弦定理易正 (2)2
1。

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