第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。

①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。

由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n S X α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。

（1）当2221,σσ已知时，由第六章定理1知，),(~211mN X σμ，),(~222nN Y σμ，又X 与Y 相互独立，所以),(~222121nmN Y X σσμμ+--，即)1,0(~)()(222121N nmY X σσμμ+---；所以可以得到21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅±-n m z Y X 22212)(σσα（2）当22221σσσ==，但2σ未知时，由第六章定理4知：)2(~)()(1121-++---n m t S Y X nmwμμ其中2w w S S =，2)1()1(22212-+-+-=n m Sn S m S w，从而可得：21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。

()n m wSn m t Y X 11)2(2+⋅-+±-α例２: 为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为)/(5001s m x =，标准差)/(10.11s m s =，取Ⅱ型子弹20发，得到枪口平均速度为)/(4962s m x =，标准差)/(20.12s m s =，假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间。

解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。

因两个总体的方差相等，却未知，所以21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：()n m wSn m t Y X 11)2(2+⋅-+±-α其中2w w S S =，2)1()1(22212-+-+-=n m S n S m S w此处，,025.02/,95.01==-αα20,10==n m ,282=-+n m ,查表得 0484.2)28(025.0=t ，又2820.11910.19222⨯+⨯=ws ,1688.12==w w s s ，故所求置信区间为：()()93.04)28(201101025.021±=+⋅±-t s xx w即 ()93.4,07.33. 两个正态总体方差比的区间估计在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为1μ比2μ大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为1μ与2μ没有显著的差别。

设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求2221σσ的一个置信区间。

据抽样分布知：)1,1(~//22212221--n m F S S σσ由F 分布的上α分位点的定义知，ασσαα-=--<<---1)}1,1(//)1,1({22222122211n m F S S n m F P 即ασσαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1,1(//)1,1(/221222122212221n m F S S n m F S S P 于是得2221σ的一个置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(/,)1,1(/22122212221n m F S S n m F S S αα 例３: 研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A 生产的管子18只, 测得样本方差;34.0221mm s =抽取机器B 生产的管子13只, 测得样本方差.29.0222mm s =设两样本相互独立,且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布),(211σμN 和),(222σμN , 这里222121,,,σσμμ均未知,求方差比2221/σσ的置信度为0.90的置信区间.解：记机器A 生产的钢管为总体X, 机器B 生产的钢管为总体Y ，由题意知，),,(~211σμN X ),(~222σμN Y ，且来自X 与Y 的两个样本相互独立，因此，2221σσ的一个置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(/,)1,1(/22122212221n m F s s n m F s s αα 此处，95.021,05.02,90.01=-==-ααα，,13,18==n m 查表求?)12,17(05.0=F能够得到数据62.2)12,15(05.0=F ，54.2)12,20(05.0=F ，采用线性插值方法有62.2)12,17(151762.254.2152005.0--=--F得59.2)12,17(05.0≈F 。

又由F 函数的性质),(1),(1m n F n m F αα-=得38.21)17,12(1)12,17(05.095.0==F F .于是所求置信区间为⎪⎭⎫⎝⎛⨯38.229.034.0,59.229.0/34.0 即 ()79.2,45.0由于2221σ的置信区间包含1，在实际中我们认为2221,σσ两者没有显著差别。

（课间休息）4. （0—1）分布参数的区间估计 问题：设有一容量50>n 的大样本，它来自（0—1）分布的总体X ，X 的分布律为1,0,)1();(1=-=-x p p p x f x x ，其中p 为未知参数。

现在来求p 的置信水平为α-1的置信区间。

易知（0—1）分布的均值和方差分别为).1(,2p p p -==σμ设大样本n X X X ,,,21 来自（0—1）分布的总体X ，由中心极限定理知)1,0(~)1()1(1N p np np X n p np npXni i近似--=--∑=于是有ααα-≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-1)1(2/2/z p np np X n z P从而得到p 的一个置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±-a ac b b 242， 其中22/αz n a +=，()22/2αz X n b +-=，2X n c =。

例４: 从一大批产品中任取100件产品进行检验，发现其中有 60 件是一级品。

试求这批产品的一级品率 p 的置信度为 95%的置信区间.解：产品的一级品率p 是(0—1)分布的参数，且样本的容量较大，因此，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为(独立同分布的中心极限定理) （林德伯格—勒维定理） 设 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方差：,)(μ=i X E ,)(2σ=i X D,,,2,1n i =, 则)(lim )(lim 1x x n n X P x F n i i n n n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=∑=∞→∞→σμ 中心极限定理的另类描述： 均值为μ, 方差为02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布.由于不等式2/2/)1(ααz p np npX n z <--<-等价于()222/)1(αz p np np X n -<-，将不等式化简，222222222/2/2p nz p nz p n p X n X n αα-<+-222222/2/2p z p z np p X n X n αα-<+- ()()0222222/2/<++-+Xn p z X n p z n αα以p 为自变量的函数()()22222/2/2X n p z X n p z n y ++-+=αα对应于一个开口朝上的抛物线。