2019年中原名校中考第二次大联考数学试卷
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列四个选项中，计算结果最大的是（ ）
A
B ．|-2|
C ．(-2)0
D ．12
2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
正面
A
． B
． C
． D
．
3. 如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF 平分∠DOB ．若
∠EOF =107.5°，则∠1的度数为（ ） A ．70°
B ．65°
C ．55°
D ．45°
1
A
B
C
D E
F
O
4. 下列运算正确的是（ ）
A ．a 5+a 3=a 8
B ．(3a 3)2=9a 9
C ．a 3·a 3=a 6
D ．2a -a =2
5. 若一组数据2，x ，8，4，2的平均数是6，则这组数据的中位数和众数分别
是（ ） A ．8，2
B ．3，2
C ．4，2
D ．6，8
6. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，按下列步骤作图：①以点A
为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ；②分别以D ，E 为圆心，DE 的长为半径画弧，两弧相交于点F ；③作射线AF ，交BC 于点G ．
则CG =（ ） A ．3
B ．6
C ．
32
D ．83
A
B
C
D
E
F G
7. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是
（ ）
A ．31
215x x -⎧⎨->⎩≥
B ．31526
x x ->⎧⎨⎩≤
C ．35215x x +⎧⎨-<⎩≥
D ．322
313
x x x x <+⎧⎪+⎨--⎪⎩≤
8. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移1个单位长度，然后绕原点
旋转180°得到抛物线y =x 2+5x +6，则原抛物线的顶点坐标是（ ）
A ．(
52，34-) B ．(52-，34-) C ．(52，54) D ．(52-，5
4
) 9. 在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，
-2，3，4，随机摸取一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为（ ）
A ．58
B ．12
C ．38
D ．14
10. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，以顶点A 为圆心，AD 的长为半径作弧交AB
于点E ，以AB 为直径作半圆恰好与DC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ． 2
3
π-
B ．2
3
π+
C ．23π
D ．2π
C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.
1
1=2-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
___________．
12. 关于x 的方程(k -1)x 2+2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的最大整数
值为_________．
13. 如图，点A 在反比例函数k
y x
=
的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点P 是y 轴上一动点，当△ABP 的面积是2时，k 的值是_______．
14. 如图1，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，点P 是斜边AB 上一动点，过点
P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP =x ，△APQ 的面积为y ，图2是y 关于x 的函数图象，则图象上最高点M 的坐标是______．
图1
A B
C
P
Q
15. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，D 是AB 的中点，E 是直线BC
上一点，把△BDE 沿直线ED 翻折后，点B 落在点F 处，当FD ⊥BC 时，线段BE 的长为__________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. （8分）先化简，再求值：222222a b a b ab
a a
b b a b a b
-+÷--+--
，其中2a =-，
b=．
2
17.（9分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠BCA=90°，∠CBA=60°，AB=10，点
D是AB边上（异于点A，B）的一动点，DE⊥AB交⊙O于点E，交AC于点G，交切线CF于点F．
（1）求证：FG=CG；
（2）①当AE=______时，四边形BOEC为菱形；
②当AD=_______时，OG∥CF．
A B
18.（9分）2019年2月18日，“时代楷模”、伏牛山里的好教师——张玉滚
当选“感动中国2018年度人物”，在中原大地引起强烈反响．为了解学生对张玉滚事迹的知晓情况，某数学课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，将调查的数据整理后绘制成如下统计表及条形统计图（均不完整）：
关注情况
根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽查了______名学生；
（2）统计表中，m=______，n=_______；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）该校共有学生1 500名，请你估算该校学生中对张玉滚事迹“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名．
19.（9分）某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜
坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为68°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE=6 m，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1 m，参考数
据：tan68°≈2.48
≈1.73）
A
B
C
D
E
68°
45°
20.（9分）如图，已知直线
1
2
y x b
=+与y轴交于点B(0，-3)，与反比例函数
k
y
x
=
（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点C，BC=3AC．（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一动点，M是直线AB上方的反比例函数
k
y
x
=（x＞0）
的图象上一动点，直线MN⊥x轴交直线AB于点N，求△PMN面积的最大值．
21.（10分）某商店购进了一种新款小电器，为了寻找合适的销售价格，进行了
为期5周的试营销，试营销的情况如下表所示：
的销量为y 台．
（1）观察表中的数据，推断y 与x 满足什么函数关系，并求出这个函数关系式；
（2）若想每周的利润为9 000元，则其售价应定为多少元？
（3）若每台小电器的售价不低于40元，但又不能高于进价的2倍，则如何定价才能更快地减少库存？此时每周最多可销售多少台？
22. （10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =60°，D 为BC
边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接EC ，则
（1）①∠ACE 的度数是_______；
②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是_______．
拓展探究：（2）如图2，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，请写出∠ACE 的度数及线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：（3）如图3，在Rt △DBC 中，DB =3，DC =5，∠BDC =90°，若点A 满足AB =AC ，∠BAC =90°，请直接写出线段AD 的长度．
A
B
C
D
E
图1
图2
A
B C
D E
图3
B
C
D
23. （11分）如图，已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C (0，-2)，一次函数1
2
y x n =
+的图象经过A ，C 两点，点P 为直线AC 下方二次函数图象上的一个动点，直线BP 交线段AC 于点E ，PF ⊥AC
于点F ．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求
PE
EB
的最大值及此时点P 的坐标． （3）连接CP ，是否存在点P ，使得Rt △CPF 中的一个锐角恰好等于
2∠BAC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；否则，说明理由．。