18
vx cos(v，i ) = = sin 2ω t v vy cos(v，j ) = = cos 2ω t v
弧坐标法： 弧坐标法 动点M的运动轨迹是圆弧，在轨迹上取水平直径的端点O2 为弧坐标的原点，并规定O2点的上方为正，则任一瞬时动点M 的位置可用弧坐标S表示，显然
s = Rθ = 2 R = 2 Rωt
x = R cos 2ωt y = R sin 2ωt
17
将运动方程分别对时间求一阶导数和二阶导数，分别 可得速度和加速度在直角坐标轴上的投影：
dx = 2 Rω sin 2ωt dt dy vy = = 2 Rω cos 2ωt dt 速度的大小为 vx =
2 2 v = vx + vy = 2Rω
x2 y2 + =1 2 2 (l + a) (l a) 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y 轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合，短轴 将与x轴重合。 x M点的速度在坐标轴上的投影为
dx = ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l a ) cos ωt dt
d2 x a x = 2 = 4 Rω 2 cos 2ωt dt d2 y a y = 2 = 4 Rω 2 sin 2ωt dt 加速度的大小为
2 2 a = a x + a y = 4 Rω 2
速度的方向为
加速度的方向为
ax cos(a，i ) = = cos 2ω t a ay cos(a，j ) = = sin 2ω t a
自然法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位 1.弧坐标的运动方程 弧坐标的运动方程S=f (t) 弧坐标的运动方程
பைடு நூலகம்
r= f1 (t )
补充： 补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
θ = f2 (t )
13
2.自然轴系 自然轴系
二.点的速度 点的速度
r r S v = lim = lim ( ) t→ 0 t t → 0 S t S r dS dr = lim lim = t→ 0 t t→ 0 S dt dS dS = τ = vτ 14 dt
1
引
言
运动学的一些基本概念 ① 运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。 ② 运动学研究的对象 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 ③ 运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。 ④ 运动是相对的 ( relativity ) ：参考体(物)；参考系； 静系；动系。 瞬时、 ⑤ 瞬时、时间间隔
这就是小环M以弧坐标表示的运动方程。 将弧坐标表示的运动方程分别对时间求一阶和二阶导数， 可得速度与切向加速度的大小为
ds v= = 2 Rω dt d2 s aτ = 2 = 0 dt
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因为切向加速度等于零，故全加速度即为法向加速度，其 大小为：
an =
v2
。加速度大小为 4 Rω 2 ，方向指向圆心(与矢径r反向)。 以上两种方法求得的结果完全相同。由于运动轨迹已知， 因而用自然法求解显然更加方便。
23
dv dv 直线、曲线都一样) =a (直线、曲线都一样)， =a 为速度的 dt dt
指出在下列情况下， 作何种运动? ③ 指出在下列情况下，点M作何种运动 作何种运动 (1) an = 0 ， aτ = 常数 (匀变速直线运动) (2) aτ = 0，ρ = 常数 (匀速圆周运动) (3) a = 0 (匀速直线运动或静止) (4) an = 0 ，ρ → ∞ (直线运动) (5) aτ = 0，v = 常数 (匀速运动) (6) ρ = 常数 (圆周运动) (7) (8) (9)
d vx ax = = ω 2 (l + a ) cos ωt dt d vy ay = = ω 2 (l a) sin ωt dt
11
加速度的大小为
2 2 2 2 a = ax +ay =ω2 (l +a)2 cos ωt +(l a)2 sin ωt
=ω l +a +2alcos ωt 2
2 2 2
1 2 Q S = aτ t ，V = aτ t； 2 V 2 (aτ t ) 2 2S ∴ an = = = aτ R R R an 2S 2 Rβ tg α = = = = 2β aτ R R
21
点的运动学问题一般解题步骤为： 点的运动学问题一般解题步骤为： 1)．根据题意，确定研究对象，并将其抽象为动点； 2)．分析动点的运动情况，并根据其特点选择恰当的解题方 法。当动点轨迹可按题意直接确定时，采用自然坐标法；当动 点轨迹不可确定时，采用直角坐标法； 3)．在具体求解时，常会遇到两种情况：一种是运动方程、 速度、加速度都是待求的未知参数，此时应先按题意建立运动 方程，可将动点的坐标用时间t表出，一但运动方程已建立，就 可用函数求导的方法按速度、加速度与运动方程之间的关系求 出其速度、加速度；另一种是已知动点的加速度或速度，要求 出动点的运动方程，此时可根据运动方程、速度、加速度之间 的关系，通过积分的方法来确定。
dv v 即n= a n， a = aτ + an = ∴ τ+ n ρ dt ρ |aτ | 2 2 a= aτ +an , α=arctg an 16
v2
[例2] 如图所示，固定圆圈的半径为R，摇杆O1A绕O1轴以匀 例 角速度 摇杆和圆圈上。运动开始时， 速度和加速度。 直角坐标法： 解 直角坐标法
二.点的速度
dr dx dy dz v= = i+ j+ k dt dt dt dt
∴ v = vxi + v y j + vz k
v = v +v +v
2 x 2 y
2 z
vx cos( v i ) = v
∧
vy cos( v j ) = v
∧
vz cos( v k ) = v
∧
7
三. 点的加速度
(加速运动 加速运动) 加速运动
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课堂自学
用柱坐标法给出点的运动方程。 ① 用柱坐标法给出点的运动方程。
柱坐标法方程
= f1(t) r= f2 (t) z= f (t) 3
dv dv 有何不同?就直线和曲线分别说明 就直线和曲线分别说明。 ② d t 与 dt 有何不同 就直线和曲线分别说明。
大小变化率， 大小变化率，在曲线中应为切向加速度 τ = dv 。 a dt
5
§6 - 1 矢量法
一.点的运动方程
r = OM = r (t )
二.点的速度
r dr & v = lim = = r t→ 0 t dt
三.点的加速度
v dv d 2 r && a = lim = = =r 2 t→0 t dt dt
6
§6 - 2
一.点的运动方程
直角坐标法
r = xi + yj + zk
an = 0
aτ = 0
(匀速运动) (匀速曲线运动) (匀变速曲线运动)
24
(直线运动) aτ = 0，an = 常数
(10) aτ = 常数，an = 常数
点作曲线运动， ④ 点作曲线运动，画出下列 情况下点的加速度方向。 情况下点的加速度方向。 （1） M1点作匀速运动 （2） M2点作加速运动 （3） M3点作减速运动 ⑤ 判断下列运动是否可 能出现，若能出现判断是什么运动? 能出现，若能出现判断是什么运动?
加速度的方向余弦为
ax l + a） ω t （ cos cos(a，i) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t ay l a） ω t （ sin cos(a，j) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t
12
§6 - 3
置的方法叫自然坐标法。 自然坐标法。 自然坐标法 一.弧坐标,自然轴系 弧坐标,
都是时间单位连续函数。 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。 当消去参数 t 后，可得到 F(x，y，z)=0 形式的轨迹方程。 形式的轨迹方程。
8
x = f 1 (t) y = f 2 (t) z = f (t) 3
[ 例 1]
椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺
AB的中点由铰链连接，规尺两端A、B可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知OC的转角为 、速度和加速度。 解 首先建立M点的运动方程，为
()t
( )t = t 2 t1
⑥ 运动分类 1)点的运动； 2)刚体的运动
2
3
第六章
§6–1 §6–2 §6–3
点的运动学
矢量法 直角坐标法 自然法
4
引
言
点的运动学，是研究一般物体运动的基础，又具体独立的 应用意义，它将研究点的几何规律，即运动方程、轨迹、速度 运动方程、轨迹、 运动方程 及加速度等运动特征量。描述点的运动有矢径法、直角坐标法 矢径法、 及加速度 矢径法 和自然法三种方法。矢径法通常用于理论推导，在具体问题的 和自然法 计算中通常采用直角坐标法和自然坐标法。如果点的运动轨迹 未知，一般选用直角坐标法；如果点的轨迹已知，则用自然坐 标法比较方便。
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由图可知
| τ |=| τ' τ |= 2 | τ | sin = 2 sin 2 2 当 t → 0时，s → 0， → sin 2 2
| τ |= 1，于是， τ ≈
τ ∴ lim | |= lim t→0 s t→0 2 sin sin 2 = lim ( 2 ) = d = 1 t→0 s s ds ρ 2 2