a a2t a2n
曲线匀速运动
at 0, v v0 常数 , s s0 v0t
曲线匀变速运动
at
常数
,v
v0
att, s
s0
v0t
1 2
at
t
2
例5-4
已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速 运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达 54km/h。 求：列车起点和未点的加速度。
y AM sin (l a)sin t
速度
vx x l a sin t
vy y (l a) cost v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, i ) vx
(l a) sin t
v
l 2 a2 2al cos 2t
cos(v, j ) vy
(l a) cost
v
l 2 a2 2al cos 2t
x (OC CM ) cos (l a) cost
y AM sin (l a)sin t
加速度
ax vx x l a 2 cost
ay vy y l a 2 sin t
3.速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4.加速度
a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n dt ds dt
则
a
dv
dt
v2
n
at
an n
at
dv dt
d2s dt 2
an
v2
1
( ds )2 dt
——切向加速度 ——法向加速度
ay j azk
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
azdvz dtd2zdt 2例 5-1已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂
直的滑槽中运动， OC AC BC l, MC a, ωt
（ v为活塞的速度， 为k 比例常数)，初速度为 。v0
求：活塞的运动规律。
解： 活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
由 a dv kv dt
得
v dv k
t
dt
v v0
0
v ln
v0
kt,
v v0ekt
由
v
dx dt
v0ekt
得
x
dx
x0
t 0
v0e
kt
dt
x
x0
v0 k
at
dv dt
0, an
a
32m/s2
故 v2 2.5m
an
ax2 ay2 az2 32m s2
例5-6
已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称
为纯滚动），设轮子转角 为 常t值(），如图所示。
求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动 方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。
例5-5
已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，
z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解： 由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
vy y 8sin 4t, ay y 32cos 4t
vz
z 4,
a z
z
0
从而 v vx2 vy2 vz2 80m s , a
1 ekt
§ 5-3 自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。
1.弧坐标 s f (t)
2.自然轴系
切向单位矢量 主法线单位矢量 n
副法线单位矢量 b n
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
方向同 n
所以 n d
ds
解： 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
由 at 常数 ,v0 0 有 v att
at
v t
15m/s 120s
0.125m/s 2
① t 0, an 0 a at 0.125m/s2 ② t 2min 120s
an
v2 R
(15m/s) 2 800m
0.281m/s2
a a2t a2n 0.308m/s2
xB r sin r sin( t )
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动 x(t T ) xt
f 1 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套
筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 a kv
第五章 点的运动学
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
dr v r
dt
单位 m/s
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
速度
v
dr dt
dx i dt
dy dt
j
dz k dt
vxi
vy
j
vzk
dx vx dt
vy
dy dt
dz vz dt
加速度
a dv dt
dvx i dt
dvy dt
j dvz dt
k
axi
2
s
t
vdt
t 2r sin t dt 4r(1 cos t )
0
0
2
2
(0 t 2π)
ax x r2 sin t , ay y r2 cost
a ax2 ay2 r 2
又点M的切向加速度为
at
v
r 2 cost
2
an
a2
at 2
r 2 sin t
2
解： M点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。 由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O M sin r (t sin t ) 1 y O1C O1M cos r1 cost
vx x r 1 cost , vy y r sint
v
vx2
v
2 y
r
2(1 cos t) 2r sin t （0 t 2 )
a
ax2
a
2 y
l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin 2 t
2 l 2 a2 2al cos 2t
cos(a, i ) ax
(l a) cost
a
l 2 a2 2al cos 2t
cos(a, j ) ay
(l a) sin t
a
l 2 a2 2al cos 2t
求：① M 点的运动方程；
② 轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cost
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x2 a）2
(l
y2 a)2
1
x (OC CM ) cos (l a) cost
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，
它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为
一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
xA b r sin b r sin(t )