即为小环M 的运动方程。
B M
Oj A
x
2Rw cos2w
故M点的速度大小为
2 2 v vx vy 2 Rw
y
a 2j
Oj A
M
其方向余弦为
B vx
vx cos(v , i ) cos 2j v vy cos(v , j ) sin 2j v x 4Rw 2 sin 2wt 4w 2 x ax v
速度矢端曲线
M1
M2
v0
v1
O v2
a
M3
动点的加速度矢 a 的方向 与速度矢端曲线在相应点 M的切线相平行。
5.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r 可表示为：
z M
r xi yj zk
x f1 (t ) y f 2 (t ) z f 3 (t )
k r z O i j x y x
5 点的运动学
本章将介绍研究点的运动的三种方法，即： 矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变 化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运 动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当 轨迹为圆时称为圆周运动。
表示点的位置随时间变化的规律的数学方程 称为点的运动方程。
本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速 度和加速度，以及它们之间的关系。
1 2 s s0 v0t at t 2
了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。 例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不 变。
dv at dt
s s0 vt
例3 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴 O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：
在轨迹上任选一点O为参考点，并设O的某一侧为正向。
动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量， 称它为动点M在轨迹上的弧坐标。 当动点 M 运动时， s 随着时间变化，它是时间的单值连 续函数，即 (+)
s f (t )
(-)
O s
M
这就是自然坐标形式的点的运动方程。
运动学 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。 也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和 加速度。
运动学
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下 必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系 称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体 的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:
h1 xM h2 xM x2
h1 x2 xM h1 h2
上式对t求一阶导数，得 M 点 的速度为:
h1 h2
M
x
h1 . h1 v xM x2 v1 h1 h2 h1 h2
.
x2 xM
5.3 自然法
1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线。
解：
dS v 4t dt
M0 R O
M
当t=4 s时速度为： v＝4×4＝16 cm/s 此时M点的切向加速度为：
M'
dv at 4 cm/s 2 dt
A
y A0
M点的法向加速度为：
v2 2 an 16cm / s R
M点的全加速度为：
a a an 16.5 cm/s
o M
j
j
R
M
此处有影片播放
y
M j
o
2 arctan 0.355 19.5
例5 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小 护环M 运动，已知φ＝ωt (ω为常数)。求小环M 的运动方程、 速度和加速度。
解：建立如图所示的直角坐标系。则
y
2j
x R sin 2j y R cos 2j x R sin 2wt y R cos2wt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.3 自然法
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成： 分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为 切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化 率。 分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法 向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。
y
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
5.2 直角坐标法
速度 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的一阶导数。
v r xi yj zk vx i vy j vz k
若已知速度的投影，则速度的大小为
2 y 2 z 2 v x
其方向余弦为
2
5.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决定： 大小：
a a t an
2
2
方向：
| at | tan an
5.3 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
列车经过M1时的全加速度为：
a1
2 2 at2 an 0.108 cm / s 1
at tan 1 | | 2.38 an1
1 arctan 2.38 67.4
列车经过M2时的加速度为：
a2 at a
2
2 n2
0.293cm / s
2
at tan 2 | | 0.355 an 2
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
arctan 0.25 142 '
例4 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增 加，行驶 s=1km 后，速度增加到 v2=54km/h ，若铁轨曲线形 状 如 图 所 示 。 在 M1 、 M2 点 的 曲 率 半 径 分 别 为 ρ1=600m, ρ2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的 加速度。
过点M并与切 线垂直的平面 称为法平面。 M1 法平面与密切 面的交线称主 t t1 法线。 t '1 令主法线的单 位矢量为n，指 向曲线内凹一 侧。 过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线， 其单位矢量为b，指向与t 、 n构成右手系。
5.3 自然法 即以点 M 为原点，以切线、主法线和副法线为坐 标轴组成的正交坐标系称为曲线在点 M 的自然坐标系， 这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法 则，即
t
j
O
M
△t
△j
△s
M'
t'
t"
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
5.3 自然法
3 点的速度
r S ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
M t r
△
v
△s
r
M'
用矢量表示为：
r'
dS v τ vτ dt
将j =wt带入上式，得M点的运动方程：
x r sin wt
w
将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：
O
j
x
dx v rw cos wt dt dv d 2 x a 2 rw 2 sin wt dt dt
例2 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
5.3 自然法 2 自然轴系
在点的运动轨迹 曲线上取极为接 近 的 两 点 M 和 M1 。 这两点切线的单位 矢量分别为t 和t1。 其指向与弧坐标 正向一致。
M1
t1
t t '1
将t 1 平移到点M。 决定一平面。 则 t 和t 1 令M1 无限趋近点M，则此平面趋近于某一极限位置， 此极限平面称为曲线在点M的密切面。
vy
v x
y 4Rw 2 cos2wt 4w 2 y ay v
故M点的加速度大小为
且有
a a a 4 Rw
2 x 2 y
2
a 4w 2 xi 4w 2 yj 4w 2 ( xi yj) 4w 2 r
例6半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。 设轮子保持在同一竖直平面内运动，j wt ，试分析轮 子边缘一点M的运动。
V1 M1 an1 ar1
a1
a2 an2 M2 ar2 V1
解：
v v at
2
2
2
1
2s
0.1m / s 2
t
v2 v
at
1
100 s
求列车经过M1和M2时的法向加速度为：
an1
v
2 1
1
0.042m / s 2
an 2 v 2 0.281m / s 2
2
2
Δr
v v* B
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
5.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点