立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。

2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．2、如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6EF a =。

（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

3、如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；4、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.图4ABC A 1C 1B 1DE练习题1、如图5所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.2、如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 所成最大角的正切值为152时，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.3、如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

（1）求V(x)的表达式； （2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

F图6P ED CBA立体几何中的角度问题答案一、异面直线所成的角 1、【解析】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ， 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵32)22(222=+=PD ，CD=2，∴△PCD 的面积为3232221=⨯⨯。

（2）解法一：取PB 的中点F ，连接EF,AF,则EF ∥BC ，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角。

在△ADF 中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF=4π， ∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为4π。

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)，∴AE=(1，2,1)，BC =(0,22,0),设AE 与BC 的夹角为θ，则ACAE AC AE =θcos 222224=⨯,, 又∵0＜θ≤2π，∴θ=4π。

2、解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+= 221212221=⨯⨯+⨯⨯=， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E .（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则62,cos 111111=⋅>=<EAG E EA G E EA G E ，设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ.二、直线与平面所成夹角 1、【解】 （II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ， 则//BG CD ，所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等.因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BNG ∆中，10sin 5BN BGN BG ∠==。

故CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值为1052、解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB1C1=V A ﹣BB1C1∴1／3 S △AB1C1·h= 1／3 S △BB1C1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4CB 123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值为4／5二、二面角与二面角的平面角问题1、法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。

因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以 AD ⊥平面DEF 。

（2）,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中在3Rt ABG ∆⋅︒中,BG=AB sin602227342144cos 27732PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-⋅⋅⋅123212cos ,7714n n ∴<>==-⋅2、（1）证明： 连结CF ，因为AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，所以EB AC ⊥。

在RT BCE ∆中，22222EC BC BE a a a =++=。

在BDF ∆中，5BF DF a ==，BDF ∆为等腰三角形，且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥。

在CEF ∆中，2222222)(2)6CE CF a a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥。

因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CEBD C =，所以CF ⊥平面BED ，而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥。

因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =，所以EB ⊥平面BDF ，而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥。

（2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB . 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE平面RQD = DG ，∴////QR DG EB .由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2222(5)2CF BF BC a a a =-=-=，22sin 55FC a RBD BF a ∠===，21cos 1sin 5RBD RBD ∠=-∠=． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，1533a BR FB ==， 由余弦定理得，222cos RD BD BR BD BR RBD =+-⋅∠2255129(2)()223335a a a a a =+-⋅⋅⋅= 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即529332sin 5aa RDB =∠， 229sin 29RDB ∠=。

故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为22929。

3、4、【答案】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则122a C O =，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【练习题】1、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450.即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180||||,cos =⨯++=•>=<FE BD FE BD EF BD 设异面直线BD 与EF 所成角为α，则1082|,cos |cos =><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos（方法二）在平面ADEF 中，DE//AF ，且DE=AF ，所以四边形ODEF 为平行四边形 所以DO//EF 所以根据定义，∠ODB 就是所求的角（或其补角）。