高中数学选修2-2模块综合测试题-(4)高中数学选修2-2模块综合测试题一、选择题1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ）（A ）2 （B ）3 （B ）4（D ）5 答案：（B ）2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）（A ）38 （B ）37 （C ）35 （D ）34 答案：（A ）；3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）（A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e2 （D ）e2- 答案：（A ）4、设ai b bi a ++,,1是一等比数列的连续三项，则ba ,的值分别为（ ） （A ）21,23±=±=b a （B ）23,21=-=b a（C ）21,23=±=b a （D ）23,21-=-=b a答案：（C ）；由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧==-⇒+=+21232)(222b a a ab b b a bi a ai b5、方程)(04)4(2R a ai x i x∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （ ）（A ）i 22- （B ）i 22+ （C ）i 22+- （D ）i 22--答案：（A ）；由⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=++220442a b a b b b ，则i z 22-=6、已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21= rc b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ） （A ）R s s s s V )(214321+++=（B ）Rs s s s V )(314321+++=（C ）R s s s s V )(414321+++=（D ）Rs s s s V )(4321+++=答案：（B ）7、数列Λ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10（D ）11 答案：（C ）8、在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③ 答案：（C ）9、若R b a ∈,，则复数ib b a a)62()54(22-+-++-表示的点在（ ）（A ）在第一象限 （B ）在第二象限 （C）在第三象限 （D ）在第四象限 答案：（D ）；由1)2(5422>+-=+-a a a ，5)1(6222<---=-+-b b b ，知在第四象限；10、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n n n n Λ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）（A ）增加了一项)1(21+k （B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ； （D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ； 答案：（C ）；11、如图是函数dcx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x+等于（ ）（A ）32 （B ）34（C ）38 （D ）312 答案：（C ）；提示，由图象过)0,2(),0,1(),0,0(知)2)(1()(--=x x x x f 经比较可得,2,3==-=d c b ，即xx x x f 23)(23+-=，由263)(2/+-=x x x f得⎪⎩⎪⎨⎧==+3222121x x x x ；12、对于函数233)(x xx f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值；②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4答案：（B ）；其中命题③与命题④是正确的。

二、填空题13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为：答案：17,3-；14、若i z 311-=，i z 862-=，且21111zz z =+，则z 的值为 ；答案：i z 52254+-；提示，由iz311-=，得i z 10310111+=又由iz862-=，得i z 50450312+=，那么5011211112i z zz +-=-=15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数na 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 答案：12+=n a n16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

则它们相遇时，A 物体的运动路程为： 答案：m 72；提示，设运动ts 时两物体相遇，那么405)81()12(0=++-⎰⎰dt t dt t tt得9=t ，由于72)12(9=-⎰dt t ，得相遇时A 物体运动m 72；三、解答题17、已知复数21,z z 满足2122212510z z z z=+，且212z z+为纯虚数，求证：213z z-为实数证明：由2122212510z z z z =+，得05210222121=+-z z z z， 即)2()3(221221=++-z z z z ，那么221221221])2[()2()3(i z z z z z z +=+-=-由于，212z z +为纯虚数，可设)0(221≠∈=+b R b bi z z且所以2221)3(b z z =-，从而bz z±=-213故213z z-为实数18、求由x y sin =与直线π322x y =所围成图形的面积解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==224322sin y x xy x y ππ或⎩⎨⎧==00y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2243y x π，本题的图形由两部分构成，首先计出]0,43[π-上的面积，再计算出]43,0[π上的面积，然后两者相加即可；于是--++=-+-=--⎰⎰x x xdx x x dx x x S cos ()cos 32()322(sin )sin 322(432430043ππππππ8)238(16)324302πππ-+=x19、用总长m 8.14的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另以一边长多m 5.0那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.解：设该容器低面矩形边长为xm ,则另一边长为m x )5.0(+，此容器的高为x x x h 22.3)5.0(48.14-=+--=， 于是，此容器的容积为：=-+=)22.3)(5.0()(x x x x V xx x 6.12.2223++-，其中6.10<<x由06.14.462=++-='x xx V ）（，得11=x，1542-=x（舍去）因为，)(/x V 在)6.1,0(内只有一个极值点，且)1,0(∈x 时，0)(/>x V，函数)(x V 递增；)6.1,1(∈x 时，0)(/<x V，函数)(x V 递减；所以，当1=x 时，函数)(x V 有最大值38.1)122.3()5.01(1)1(m V =⨯-⨯+⨯=即当高为m 2.1时, 长方体容器的容积最大，最大容积为38.1米.20、已知0≥a ，函数xe ax xx f )2()(2-=．（Ⅰ）当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设)(x f 在]1,1[-上是单调函数，求a 的取值范围解析：（1）略 （2）由+-=x e a x x f )22()(/]2)1(2[)2(22a x a x e e ax x x x --+=- 令0)(/=x f，即02)1(22=--+a x a x，得2111a a x+--=，+-=12a x21a +，其中21x x <当x 变化时，)(/x f 、)(x f 的变化情况如下表： x),(1x -∞ 1x ),(21x x 2x),(2+∞x)(/x f +-+)(x f极大值极小值当0≥a 时，)(,0,121x f x x≥-<在),(21x x 上单调递减；由此可得：)(x f 在]1,1[-上是单调函数的充要条件为12≥x，即1112≥++-a a ，解得43≥a ； 即所求a 的取值范围为),43[+∞； 21、若),,3,2,1(0n i xiΛ=>，观察下列不等式：4)11)((2121≥++x x x x ，9)111)((321321≥++++x x x x x x，…，请你猜测)111)((2121nn x x x x x x++++++ΛΛ将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

解：将满足的不等式为)2()111)((22121≥≥++++++n n x x x x x x nn ΛΛ，证明如下：1当2=n 时，结论成立； 02假设kn =时，结论成立，即22121)111)((k x x x x x x kk ≥++++++ΛΛ那么，当1+=k n 时，=++++++++++)1111)((121121k k k k x x x x x x x x ΛΛ)111)((2121k k x x x x x x ++++++ΛΛ+⋅+++++1211)(k k x x x x ΛΛ+++21111(x x x k 2221212)1(121)111)((21)1+=++≥++++++++≥++k k k x x x x x x k x kk k ΛΛ显然，当1+=k n 时，结论成立。

由01、02知对于大于2的整数n ，22121)111)((n x x x x x x nn ≥++++++ΛΛ成立。