第十八章 四边形第一节 平行四边形一 、课标导航二 ．核心纲要1． 平行四边形的定义两组对边分别平行四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”． 2．平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等． (2)角：对角相等，邻角互补． (3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． (5)面积＝底×高． 3．平行四边形的判定(1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等四边形是平行四边形；③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形； (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．ABCD5．平行四边形中的面积关系(1)12ABC ABD DBC ADC ABCDS S S S S ∆∆∆∆====Å； (2)123412ABCDS S S S S ====Å；(3)12312ABCDS S S S =+=Å； (4)132412ABCDS S S S S +=+=Å；(5)1423S S S S =或S 1S 3＝S 2S 4．6．已知三点确定平行四边形的方法已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，那么，以A 、B 、C 为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如图所示．本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系． 三、全能突破ABCDES S S 4321S A BCDPS 13S 24S S ABCDABCDEF基础演练1．在平行四边形中，一定有( )．A ．两条对角线相等B ．两条对角线垂直C ．两条对角线互相平分D ．一条对角线平分一组对角2．在□ABCD 中，∠A ＝145°，则∠B ，∠C 的度数分别是( )．A ．30°，150°B ．35°，145°C ．40°，140°D ．45°，135°3．如图18－1－1所示，在周长是10cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是( )．A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．□ABCD 的周长是28cm ，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长大4cm ，那么AB 等于( )．A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm5．如图18－1－2所示，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，若AE ＝2，AE ∶ED ＝2∶1，则□ABCD 的周长是( )．A ．10B ．12C ．9D ．156．下列命题：(1)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图18－1－3所示，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )．A ．5B ．10C ．20D ．408．若平行四边形相邻两边为a ＝3，b ＝5，它们与对边的距离分别为a h 和b h ，那么a h ∶b h 等于( )．A ．5∶3B ．3∶5C ．10∶3D ．3∶10能力提升9．如图18－1－4所示，E 是□ABCD 内任一点，若ABCD S 四边形＝6，则图中阴影部分的面积为( )．A ．2B ．3C ．4D ．510．国家级历史文化名名城――金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图18－1－5所示)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是( )．A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等ABCDEF 图18－1－3图18－1－2图18－1－1OEDCBAABCDE11．平行四边形的两条对角线长分别是x ，y ，一边长为12，则x ，y 可能是下列各组中的( )．A ．8与14B ．10与14C ．18与20D ．10与3812．如图18－1－6所示，在ABCD Å中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点G 、H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③EG ＝12BG ；④ABE AGE S S ∆∆=．其中正确的结论有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．若以A (－0.5，0)、B (2，0)、C (0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如图18－1－7所示，□ABCD 的对角线BD 上有点E 、F ，若要使四边形AECF 是平行四边形，则要添加一个条件，可以添加的条件是＿＿＿＿＿．15．如图18－1－8所示，P 是平行四边形ABCD 内一点，且PAB S ∆＝5，PAD S ∆＝2，则阴影部分的面积为＿＿＿＿．16．如图18－1－9所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若∠MDC ＝45°，则∠BAD ＝＿＿＿＿＿，∠ABC ＝＿＿＿＿．17．已知，如图18－1－10所示，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连接EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，连接DM 、BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ．(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．18．如图18－1－11所示，在ABCD Å中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．图18－1－4HFGEABC D红绿橙紫蓝黄H G FEABCD图18－1－6图18－1－5图18－1－7图18－1－8图18－1－9D CBACABCDE FM图18－1－10ABC DMNE F图18－1－11ABCDEF19．如图18－1－12所示，在□ABCD 中，AB ＞BC ，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平分线交于F 点，连接EF ．(1)延长DE 交AB 于M 点，则图中与线段EM 一定相等的线段有哪几条？说明理由(不再另外添加字母和辅助线)．(2)EF 、BC 与AB 之间有怎样的数量关系？为什么？(3)如果将条件“AB ＞BC ”改为“AB ＜BC ”，其他条件不变EF 、BC 与AB 的关系又如何？直接写出结论．20．如图18－1－13所示，已知点C 是线段AB 上的点，△ACD 与△BCE 都是等边三角形，F 、G 、M 、N 分别是线段AC 、CE 、CD 、CB 的中点，求证：FG ＝MN ．21．如图8－1－14所示，ABCD Å内一点E 满足ED ⊥AD 于点D ，且∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°，找出图中一条与EB 相等的线段，并加以证明．FEMMFEAB CDABCD图18－1－12N M FGED BC A图18－1－13图18－1－14DC B AE中考链接22．(2012·黑龙江)如图18－1－15所示，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝30°，则∠PFE 的度数是( )．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°23．(2012·武汉)在面积为15的ABCD Å中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为( )．A．11B．11C．112+或112-D．112+或12+24．(2012·鞍山)如图18－1－16所示，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP 、EP ．求证：FP ＝EP ． 巅峰突破25．如图18－1－17所示，等腰Rt △ABD 中，AB ＝AD ，点M 为边AD 上一动点，点E 在DA 的延长线上，且AM ＝AE ，以BE 为直角边，向外作等腰Rt △BEG ，MG 交AB 于点N ，连NE 、DN ．(1)求证：∠BEN ＝∠BGN ． (2)求NG ∶AB 的值．(3)当M 在AD 上运动时，探究四边形BDNG 的形状，并证明之．26．如图18－1－18所示，四边形ABCD 中，∠C ＝∠DAB ，∠CDA ＝∠CBA ，连接BD ，延长DA 到H ，使AH ＝AD ，连接BH ，BC ＝3，CD ＝4，DB ＝6，求BH 的长．图18－1－15ABP F CD图18－1－16PF EGAB C D图18－1－17EA M DNBG图18－1－18HACDB第二节 矩形、菱形、正方形一、课标导航：二、核心纲要： 1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的的平行四边形叫矩形. （2）性质：①边：对边平行且相等 ②角：四个角都是直角③对角线：对角线互相平分且相等④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. （3）判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形. ②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有三个角是直角的四边形是矩形. （4）其他判定（需要证明）：①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形.若平行四边形ABCD 中，2222PB PD PC PA +=+,则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC ，证明D C ⊥PM ；②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形.2.菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）性质：①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.（3）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.3.正方形：（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）性质：①边：对边平行，四条边都相等；②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形；（3）判定：①有一组邻边相等的的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （4）其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；⑤四边相等，有三个角是直角的的四边形是正方形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.（5）平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4.直角三角形斜边中线等于斜边的一半.5.对角线互相垂直的四边形的性质：①面积是对角线乘积的一半：BD AC S ABCD ∙=21四边形; ②对边平方和相等：2222AD BC CD AB +=+.本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定.平行四边形正方形菱形矩形B三、 全能突破1.如图18-2-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，B E ⊥AC ，D 是AB 中点，且DE=BE=21AB ，则∠C 的度数是（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°2.如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A =120°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12mB ．20mC ．22mD ．24m 3.菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形面积为（ ） A ．25cm 2B ．16cm 2C ．2225cm 2D ．216cm 2 4.如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若AB=BC ，那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③AC ⊥DC ；④DC 平分∠BDE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个18-2-318-2-218-2-1BA5.如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知ABCD ADF ABE S S S 矩形31==∆∆，则CEF AEF S S ∆∆:的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°,则∠CFE = 度.7.如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于 .18-2-618-2-518-2-4B8.如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB, ∠DEC=90°. (1)求证：A C ∥DE .（2）过点B 做BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由.18-2-79.如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为36cm 2，E,F,G 分别为AB,BC,CD 中点，H 为AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18cm 2B ．16cm 2C ．20cm 2D ．24cm 210.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为（ ）A ．142B ．143C ．144D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条边做垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）A ．135°B ．150°C ．110°D ．145°12.如图18-2-10所示，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．3218-2-1018-2-918-2-8E A13.如图18-2-11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点O 按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积（ ）A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为（ ） A ．22821p d - B ．22821p d + C ．22621p d - D ．22621p d +15.如图18-2-12所示，在□ABCD 中，∠ADC=78°,AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ,则∠AED= .18-2-1318-2-1218-2-11BA16.（1）如图18-2-13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4,5，P 是对角线AC 上的一点，P E ∥BC 交AB 于点E ,PF ∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是 .（2）如图18-2-14所示，在矩形ABCD 中，AB =5cm ，BC=3cm ,EF ∥GH ∥BC ,点P,Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积是 .17.如图18-2-15所示，在直线l 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，先做一平行于l 的直线m ，使截得的三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则l ，m 之间的距离为 .18.如图18-2-16所示，线段AB 的长为220cm ，点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G (不与D 重合)作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为 .lm 18-2-1618-2-1518-2-1419. 如图18-2-17所示，在四边形ABCD中，∠ABC=135°, ∠BCD=120°,AB=6,BC=5-3,CD=6,求AD 的长.20. 如图18-2-18所示，在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PF ⊥AC 于点E ,PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值.21. 如图18-2-19所示，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4,AO=26,求AC 的值.18-2-1718-2-1818-2-1922.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A,D,E,F 按逆时针排列），使∠DAF=60°连接CF .（1） 如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ，②AC=CF+CD . （2）如图18-2-20（b ）所示，当点D 在边BC 的延长线上且其它条件不变时，结论上AC=CF+CD .是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由.（3）如图18-2-20（c ）所示，当点D 在边CB 的延长线上且其它条件不变时，补全图形，并直接写出A C 、CF 、CD 之间存在的数量关系.18-2-20(c)(b)(a)23.（2012·威海）如图，在ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线。