高中数学高考总复习复数习题及详解Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i2－3i＝( )A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A[解析] 3＋2i2－3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋9i＋4i－613＝i.2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案] C[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z＝11＋i，则z－·i在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B[解析] z＝1－i2，z－＝12＋i2，z－·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点⎝⎛⎭⎪⎫－12，12在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1z( )A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案] C[解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ.则z2＋1z＝cos2θ＋i sin2θ＋1cosθ＋i sinθ＝2cos2θ＋2i sinθcosθcosθ＋i sinθ＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是( )A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案] A[解析] (3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( )A．－4B．4C．－1D．1[答案] A[解析] 由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析] ∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C 54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于( )A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案] A[解析] a＋b i＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(e iθ)5＝e i(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选 A. 8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数ab∈R，则实数x的值为( )A．－6 B．6C.8 3D．－8 3[答案] C[解析] ab＝3＋2i4＋xi＝(3＋2i)(4－xi)16＋x2＝12＋2x16＋x2＋⎝⎛⎭⎪⎫8－3x16＋x2i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋2z＝( )A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [答案] C[解析] ∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2z＝21－i＝1＋i，∴z2＋2z＝1－i，选C.9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y＝x＋1的距离是( )A.2 2B.2 C．2 D．22 [答案] A[解析] ∵21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝12＝22，故选A.10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于( ) A．－34＋iB.34－iC.34＋iD．－34－i[答案] C[解析] 由z＝2－|z－|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－a2＋1，∴a＝34，故选C.(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝a＋i1－2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于( )A．2B．22C ．4D ．8 [答案] B[解析] z ＝a ＋i 1－2i ＝(a ＋i )(1＋2i )5＝a －25＋2a ＋15i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a －25＝02a ＋15≠0，∴a ＝2，∴|a ＋2i |＝|2＋2i |＝2 2. 二、填空题11．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 12．(2010·南京市调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] －1[解析] 因为z 1·z 2＝(a －i )(1＋i )＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 13．(文)若a 是复数z 1＝1＋i2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．[答案] －25[解析] ∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋35i ， ∴a ＝15.又z 2＝(1－i )3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2.于是，ab ＝－25.(理)如果复数2－bi1＋2i (i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________．[答案] －23[解析]2－bi 1＋2i ＝2－bi 1＋2i ·1－2i 1－2i ＝2－2b 5－b ＋45i ， 由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b 5＝b ＋45，解得b ＝－23.14．(文)若复数z ＝sin α－i (1－cos α)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k ＋1)π (k ∈Z )[解析] 依题意，⎩⎨⎧sin α＝01－cos α≠0，即⎩⎨⎧α＝k πα≠2k π，所以α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )．[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．(理)(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i )(cos θ＋i sin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512.三、解答题15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0a ＋1≠0，∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0a ＋1≠0，∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6＝0a ＋1≠0∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数．16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1且z ＋2z ∈R 的复数z .[解析] 设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1?|z ＋1|＝|z －1|， 由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |， ∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0， ∴z ＝bi ，又由bi ＋2bi∈R 得，b －2b＝0?b ＝±2，∴z ＝±2i . 17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥00≤a ≤4b ≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为16.即事件“z－3i为实数”的概率为1 6 .(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝1836＝12.。