(x 2 3x 4)4
6. (1＋2x－3x2）20 的展开式一共有多少项？
新疆 王新敞
奎屯
7.(
x

2 x2
)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为
14：3，求展开式的常数项
Tr1 C1r0 (
x
)10r
(
2 x2
)
r
105r
(2)r C1r0 x 2
自主练习
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 和 得
到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5=
.
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
4.计算：C 04= 1，C14= 4，C 24= 6，C34= 4，C 44= 1 . 用这些
组合数表示(a+b)4的展开式是：
(a+b)4=

L

C11 12
212-2
3.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是 。
T5

C4 10
x4
(
y)6

210x4
y6
T7

C6 10
x6
(
y)4

210x6 y4
4.在(1 a)m 的二项式展开式中，第5项的系数等于第9项的系数，
那么m的值是______； 5.求展开式中的x2系数：
12
C0 4
a4

C41a3b

C2 4
a2b2

C43ab3

C44.b4
归纳:二项展开式的特点
◆(a+b)3的展开式有4项，分别按a的降幂和b的升
幂排列，各项中a和b的指数和都等于3，即为
(a
b)3

C0 3
a
3

C31a
2b

C2 3
ab
2
C33b3
◆(a+b)4的展开式有4项，分别按a的降幂和b的升
x 32x2 x 80x x 80 x 40 10 1
x x x x2 x
问：第四项的系数是多少？二项式系数又是多少？ 不展开你能求出来吗？
求： ( x 3 )9 3x
①展开式中间项
②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
Tr 1

C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
3. 各二项式系数的和：
C0 n

C1 n

C2 n



Cn n

2n
这里要注意赋值法的应用。 4.杨辉三角
知识应用
1A.若、n第为奇n 项数，（a+Bb﹚、n第的n展开1项式中二项系数是大的项（ C ）
2
2
C、第n 、1 n 1 1项 22
D、第 n 1、 2
n项 2
2.
C112

C122
3.(1 x) (1 x)2 (1 x)3 (1 x)15
展开式中含x3项的系数为___1_8_2_0_____。
知识回顾
1.(a+b) n= Cn0an Cn1an1﹙b C﹚n2a,n b 2 2 Cnnbn
展开式共有 项n，+1其中 （r=0,1,2,…C…rn ,n）
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n∈N*)。
特点：①二项展开式公有n+1项；
②二项展开式按a 的降幂和b 的升幂排列，且各
项中a和b的指数和都等于n；
③二项展开式各项的系数依次为
Cn0、Cn1、Cn2、Cn3、、Cnn

C9r
32r9
9 3 r
x2
( x 2 )5 2x
求：有理项 第四项 第三项的系数
【题组四】
1.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4。 2.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4.
C1 n

C2 n



Cn n
2n
……
二项式系数的性质:
1.对称性： 相等；
C，nr 即与C首nn末r 两端“等距离”的两个二项式系数
2.增减性与最大值：
n
当 n为n为奇偶数数时时，，展展开开式式中中间间的的两一项项、取相得等n最C1，n大2 且；n同1当
时取得最大。
Cn2 Cn 2
探究
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1= a+b , (a+b)2=a2+2ab+b2 , (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 .
2.列出上述各展开式的系数: 1 1
12 1
13 3 1
14 6 4 1
幂排列，各项中a和b的指数和等于4，即为
(a b)4

C0 4
a
4

C1 4
a
3b

C2 4
a
2b
2

C3 4
ab3

C4 4
b
4
◆(a+b)n的展开式有n+1项，分别按a的降幂和b的
升幂排列，各项中a和b的指数和都等于n，即为
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
叫做 二项式；系数
2.通项表示展开式中的第
Tr 1

Cr n
a
nr
b
r
项，r+通1项公式是
3. 对称性：
= C r n
C nr n
nN
.
=
C C (a+b)1…………………………… 1 01 1
1
2 1 11
C C C (a+b)2……………………… 1
0
1
2
32 32 12
C C C C (a+b)3……………………1
n 1
r … n1
n 1
n 1
C C C C C C (a+b) n…… 0
1
n
n
2…
r 1
r ………
n
n
n
n
n
结论：①
Cr n

C nr n
即与首末；两端“等距离”的两个二项式系数相等
② 二在项中式间系取数得前最半大部 值分；逐；渐增大，后半部分逐渐减小，且
③
各二项式系数的和：
C。n0
40 61 4 2 1 3
1 5 3 10 3 10 3 5 31
(a+b)4………………
(a+b)5…………… ……
C C C C C 01Βιβλιοθήκη 442 4
3
4
4
4
C C C C C C 0 5
1 5
2
3
5
5
4
5
5
5
C C C C C C (a+b) n-1……
0
1
2…
r 1
n 1 n 1 n 1
2.二项展开式的通项：
Tr 1

C a b r nr r n
3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即：
Cn0、Cn1、Cn2、Cn3、、Cnn
二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数
1.展开(x 1)4 x4 4x2 6 4 1
x
x2 x4
2.展开 (2 x 1 )5