知识回顾与复习
1.
C
m n

C
n n
m
；
2.
Cm n1

C
m n

C
m1 n
；
递推可得： Crr

Cr r 1
L
Cnr

C r 1 n 1
(n

r
,
n,
r

N*)
．
3．二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 L Cnranrbr L Cnnbn (n N*)
(a b)n 展开式的二项式系数依次为 Cn0 , Cn1 , Cn2 ,L , Cnr ,L , Cnn ， (a b)1 展开式的二项式系数依次为 C10 , C11 ，
即1,1 ；
(a b)2 展开式的二项式系数依次为 C20 , C21, C22 ，
即1, 2,1 ；
(a b)3 展开式的二项式系数依次为 C30 , C31, C32 , C33 ，
关，还与 a, b 有关，在一些特殊情况下，展开式某一项系数与二项式系数相
同（什么时候？）．
问题研究
１．请把数字 1 及 (a b)1, (a b)2, (a b)3, (a b)4, (a b)5,L 展开 式的二项式系数按一定方式排列，选择合适的观察角度，看看 这些二项式系数分布有哪些特点，并作简要解释。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称 这是“中国三角形”（Chinese triangle）
二项式系数两个基本性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
C
m n

C
n n
m
；
（2）增减性与最大值：
当 r n 1时，二项式系数 2
C
r n
的值逐渐增大，当
r
如果把上述两个问题的8次方改为9次方,答案应是 什么?
３． ( x 1 )8 展开式第 r 1 项的二项式系数为多少？展开式第 r 1 24 x
项的系数为多少？
C C Tr1
r( x )8r ( 1 )r (1)r
布莱士·帕斯卡的著作 Traité du triangle arithmétique（1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以 此解决一些概率论上的问题，影响面广泛， Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730 年）都用帕斯卡 来称呼这个三角形。
n
n
n
n
n
n
n
4．二项展开式通项公式：
Tr 1

C
r n
a
n
r
b
r
（r=0,1,2,…,n）．
注意事项：
（１） r k 对应的是展开式第 k 1 项； （２）展开式某一项系数与二项式系数是不同的概念，展开式某一项二项式 系数大小只与幂指数 n 有关，而展开式某一项的系数大小不仅与幂指数 n 有
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1
杨辉三角历史
北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运 算。
11 世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种 形式的数表，并说明此表引自 11 世纪前半贾宪的《释锁算术》， 并 绘 画 了 “古 法 七 乘 方 图 ”。故 此 ，杨 辉 三 角 又 被称 为 “贾 宪 三 角 ”。
即1,3,3,1 ；
(a b)4 展开式的二项式系数依次为 C40 , C41, C42 , C43, C44 ，
即1, 4, 6, 4,1；
(a b)5 展开式的二项式系数依次为 C50 , C51, C52 , C53, C54 , C55 ，
即 1, 5,10,10, 5,1 ；
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303 年）扩充了“贾宪三 角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia） 以纪念在 16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家帕斯卡在 13 岁时发现 了“帕斯卡三角”。
n
n
n
n
r 1
Cn
r
1
nr r 1
1
r

n 1 2
k

1 2

r

k, k 1,L
,n ，
Cn
C C C C 因此 k k1 L n1 n ．
n
n
n
n
从上可以看出：正中间第
k
1
项二项式系数
C
k n
最大．
解决下列问题
１． (1 x)8 展开式第几项二项式系数最大？ ２． (1 x)8 展开式第几项系数最大？第几项系数最小？
系数为
C
k n
为．
r 1
Cn
r

(r
n! 1)!(n
r
gr!(n 1)! n!
r)!

n r
r 1
，
Cn
r 1
Cn
r
1 n r 1 r n 1 k 1 r 0,1,L , k 1,
r 1
2
2
Cn
C C C C 因此 0 1 L k1 k ，
特殊化：
（１） (1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn (n N*) ；
（２） Cn0
Cn1

C
2 n


C
n n
2

C
n1 n

C nn
2n ．
C C C C C C C （３） 0 2 4 L L 1 3 5 L L 2n1 （规定 r n 时， r 0 ）
排列方式一
1
1
11
1
121
2
133 1
3
1464 1
5
1 5 10 10 5 1
8
13
排列方式二
将展开式每一项的二项式系数乘以(n+1),再取倒数,可得到下列数表:
莱布尼茨三角数表
认识杨辉三角
杨辉三角很好地表 达了二项式系数局 部与整体的关系,如 果只看每一横行,那 么我们就只见树木, 不见森林了,无法很 好体会二项式系数 之间的递推性和生 成性.

n 1时,C 2
r n
的
值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当
n
为偶数时，中间一项（第
n 2
＋1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
项）的二项式系数 Cn2
取得最
大值。
当 n 为奇数时，中间两项（第 n 1 和 n 1 ＋1 项）的二项式系数
2
2
n1
n1
Cn 2 Cn 2 相等并同时取最大值。
当 n 为偶数 2k 时，展开式共有 2k 1项，正中间二项式