2017年电大工程数学期末考试试题及答案一、单项选择题1.若100100200001000=aa ,则=a (12). ⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c (10). ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是()AB BA --=11).⒌设A B ,均为n 阶方阵,k >0且k ≠1,则下列等式正确的是(D).D.-=-kA k An ()⒍下列结论正确的是(A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵).⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为( C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ).⒏方阵A 可逆的充分必要条件是(A ≠0)⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则()ACB '=-1(D ).D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ).A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为(C. [,,]--'1122 ).⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪( 有唯一解). ⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为( 3).⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα,则(ααα123,, )是极大无关组.⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是(D ).D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关,则向量组内(A)可被该向量组内其余向量线性表出. A. 至少有一个向量9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( A )成立. A.λ是AB 的特征值10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似.C.B PAP =-1⒈A B ,为两个事件,则( B )成立. B.()A B B A +-⊂⒉如果( C )成立,则事件A 与B 互为对立事件.C.AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为( D. 307032⨯⨯..).4. 对于事件A B ,,命题(C )是正确的. C. 如果A B ,对立,则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,),且E X D X ().,().==48096,则参数n 与p 分别是(6, 0.8).7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数,则对任意的a b a b ,()<,E X ()=(A). A.xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ). B.f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x (),分布函数为F x (),则对任意的区间(,)a b ,则=<<)(b X a P D.f x x ab()d ⎰).10.设X 为随机变量,E X D X (),()==μσ2,当(C)时,有E Y D Y (),()==01.C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵,B 是52⨯矩阵,当C 为( B 24⨯)矩阵时,乘积AC B ''有意义。
2.设A,B 是n 阶方阵,则下列命题正确的是( A AB A B = ) 3.设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是(A .BA AB = ).1354.47-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( D 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦) 5.若A 是对称矩阵,则等式(B . A A =' )成立.6.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( B .0321=-+a a a ),其中0≠i a ,7. n 元线性方程组AX=b 有接的充分必要条件是( Ar(A)=r(A b) )128.,214A λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若线性方程组的增广矩阵则当=( D 12 )时有无穷多解。
9. 若( A 秩(A )=n )成立时,n 元线性方程组AX=0有唯一解10.向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,的秩是( B 3 ) 11. 向量组1,0,0α=(0),21,0,0α=(),31,2,0α=(),41,2,3α=()的极大线性无关组是( A 234ααα,, )12.下列命题中不正确的是( D .A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 ).13.若事件A 与B 互斥,则下列等式中正确的是( A . ).14.设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本,则检验假设5:0=μH 采用统计量U =(C .nx /15- ).15. 若条件( C . ∅=AB 且A B U += )成立,则随机事件A ,B 互为对立事件.16. 掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和是4”的概率( C 112)17. 袋中有3个红球2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是( D 925)18.对来自正态总体X N ~(,)μσ2(μ未知)的一个样本X X X 123,,,记∑==3131i i X X ,则下列各式中( C . ∑=-312)(31i i X μ )不是统计量.19. 对单个正态总体2(,)N μσ的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是( B 未知方差,检验均值)⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则(x 1)是统计量.⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则统计量(D )不是μ的无偏估计.D.x x x 123-- ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是2⒊若A 为34⨯矩阵,B 为25⨯矩阵,切乘积AC B ''有意义,则C 为 5×4 矩阵.4.二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051. ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,,则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵,且A B ==-3,则-=2AB 72⒎设A B ,均为3阶矩阵,且A B =-=-13,,则-'=-312()A B -3 .⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵,则a = 0 .⒐矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 。
⒑设A A 12,是两个可逆矩阵,则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A . ⒈当λ= 1 时,齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解. ⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 . ⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的.⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα.⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 .⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量,且秩()A =3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个. ⒏设线性方程组AX b =有解,X 0是它的一个特解,且AX =0的基础解系为X X 12,,则AX b =的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ的根.10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵.⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为2/5.2.已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,互不相容时,P A B ()+= 0.8 ,P AB ()= 0.3 .3.A B ,为两个事件,且B A ⊂,则P A B ()+=()A P .4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==,则P B ()=P -1.5. 若事件A B ,相互独立,且P A p P B q (),()==,则P A B ()+=pq q p -+.6. 已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,相互独立时,P A B ()+= 0.65 ,P A B ()= 0.3 .7.设随机变量X U ~(,)01,则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x .8.若X B ~(,.)2003,则E X ()= 6 .9.若X N ~(,)μσ2,则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ.10.E XE X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 .1.统计量就是 不含未知参数的样本函数 .2.参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 .常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法. 3.比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 , 有效性 .4.设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2(σ2已知)的样本值,按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠,需选取统计量n x U /0σμ-=.5. 假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ(u 为临界值)发生的概率。
1.设22112112214A x x =-+,则0A =的根是1,-1,2,-2. 2.设B A ,均为3阶方阵,6,3A B =-=,则13()A B -'-=8. 3. 设B A ,均为3阶方阵,2,3A B ==则13A B -'-=-18_. 4. 设B A ,均为3阶方阵,3A B ==则12AB --=_-8__.5.设4元线性方程组AX =B 有解且r (A )=1,那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有3 个解向量.6.设A 为n 阶方阵,若存在数λ和非零n 维向量X ,使得AX X λ=,则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量.7.设A B ,互不相容,且P A ()>0,则P B A ()=0 8. ()0.8,()0.5,()_____.P A P AB P AB ===0.3 9.设随机变量X ~ B (n ,p ),则E (X )= np .10.若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ,且∑==n i i x n x 11,则~x )1,0(nN .11.设n x x x ,,,21 来自总体2~(,)X N μσ的一个样本,且∑==ni i x n x 11,则()D x =2nσ12.若5.0)(,8.0)(==B A P A P ,则=)(AB P 0.3.13.如果随机变量X 的期望2)(=X E ,9)(2=X E ,那么=)2(X D 20. 14. 设X 为随机变量,且D(X)=3,则D(3X-2)=_2715.不含未知参数的样本函数称为 统计量.16. 若0120.20.5X a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则a=_0.3_ 17. 设ˆθ是θ的一个无偏估计,则_ˆ()E θθ=.三、计算题⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,,求⑴A B +;⑵A C +;⑶23A C +;⑷A B +5;⑸AB ;⑹()AB C '. 答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB ⒉设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=200123411,112301,210121C B A ,求AC BC +. 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112111201,243121013B A ,求满足方程32A X B -=中的X . 解: 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X⒋写出4阶行列式1020*********11-- 中元素a a 4142,的代数余子式,并求其值.答案:0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥; ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥; ⑶ 1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥. 解:(1)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-919292929192929291100100019192920313203231100210201122012032319006302011020120013663221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r rr I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩. 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101111112211100111000111011011111102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R1.用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x2.设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==A R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出,若能,写出一种表出方式.其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解:向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系.解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解:⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡----------=++-+-+-++000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =,24k x =,这里1k ,2k 为任意常数,得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x7.试证:任一4维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一4维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a 44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解. 证明:设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9.设λ是可逆矩阵A的特征值,且0≠λ,试证:λ1是矩阵1-A 的特征值.证明: λ是可逆矩阵A的特征值∴ 存在向量ξ,使λξξ=A∴ ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10.用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型. 解:42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++= 222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=,4232x x x y +-=,23x y =,44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=1.设A B C ,,为三个事件,试用A B C ,,的运算分别表示下列事件: ⑴ A B C ,,中至少有一个发生; ⑵ A B C ,,中只有一个发生; ⑶ A B C ,,中至多有一个发生; ⑷ A B C ,,中至少有两个发生; ⑸ A B C ,,中不多于两个发生; ⑹ A B C ,,中只有C 发生.解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴ 2球恰好同色;⑵ 2球中至少有1红球.解:设A =“2球恰好同色”,B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率.解:设=i A “第i 道工序出正品”(i=1,2)9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.解:设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是p ,求所需设计次数X 的概率分布.解:P X P ==)1(P P X P )1()2(-== P P X P 2)1()3(-== …………P P k X P k 1)1()(--== …………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(3216.设随机变量X 的概率分布为012345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253. 解:87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142.解:412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它,求E X D X (),().解:32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D9. 设)6.0,1(~2N X ,计算⑴P X (..)0218<<;⑵P X ()>0.解:8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P 0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P 10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量,已知E X D X (),()112==μσ,设X n X i i n==∑11,求E X D X (),().解:)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX X X E n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n1)]()()([1)(1)1()(2122121n n ni i X D X D X D nX X X D nXnD X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσn n n=⋅=1.设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值x 和样本方差s 2.解: 6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i ix x s 2.设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ.解:提示教材第214页例3矩估计:,121)1()(110∑⎰===++=+=n i i x n x dx x x X E θθθθxx --=112ˆθ 最大似然估计:0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==ni i ni i x nd L d x n L θθθθ,1ln ˆ1--=∑=ni ixnθ3.测两点之间的直线距离5次,测得距离的值为(单位:m ):108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的,求μ与σ2的估计值.并在⑴σ225=.;⑵σ2未知的情况下,分别求μ的置信度为0.95的置信区间.解: 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ (1)当σ225=.时,由1-α=0.95,975.021)(=-=Φαλ 查表得:96.1=λ故所求置信区间为:]7.111,3.108[],[=+-nsx n s x λλ4.设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2,从历史资料已知σ=4,抽查10个样品,求得均值为17,取显著性水平α=005.,问原假设H 020:μ=是否成立.解:237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=n x U σμ, 由975.021)(=-=Φαλ ,查表得:96.1=λ因为 237.0||=U > 1.96 ,所以拒绝0H5.某零件长度服从正态分布,过去的均值为20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取8个样品,测得的长度为(单位:cm ):20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(α=005.).解:由已知条件可求得:0125.20=x 0671.02=s1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0即用新材料做的零件平均长度没有变化。