2019届福建省福州第一中学高三下期2月数学(理)试题
一、单选题
1.z 是复数312i z i +=
+的共轭复数,则z 的虚部为( ) A .35 B .35- C .15 D .1
5
- 【答案】A
【解析】根据虚数单位i 的运算性质以及复数的除法计算出z ,即可求解出z 并判断出z 的虚部.
【详解】 因为()()()()312111322225
i i i i i z i i i i +++++====+--+, 所以1355
z i =-,所以z 的虚部为35-. 故选:B.
【点睛】
本题考查复数的除法计算以及复数的实、虚部辨别,难度较易.复数进行除法计算时,注意使用分母实数化的方法去求解.
2.已知集合{}1A x x =>,{}31x B x =<,则( )
A .A
B =∅I
B .A B R =U
C .()(] ,0R A B =-∞I ð
D .(),1A B ⋃=-∞ 【答案】A
【解析】计算出集合B 中表示元素的范围即可求出集合B ,然后逐项判断即可.
【详解】
因为31x <,所以0x <,所以(),0B =-∞,
A .因为()1,A =+∞,所以A
B =∅I ,故正确;
B .()(),01,A B =-∞+∞U U ,故错误;
C .(] ,1R A =-∞ð,所以()
() ,0R A B =-∞I ð,故错误;
D .()(),01,A B =-∞+∞U U ,故错误.
故选:A.
【点睛】
本题考查判断集合的交并补运算是否正确,主要是对集合间运算的理解,难度较易. 3.在等差数列{}n a 中,已知13a =,公差2d =,若
12345m a a a a a a =++++*()m N ∈,则m =( )
A .19
B .18
C .17
D .16
【答案】C
【解析】依题意a n =2n +1,且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5a 3=35,令a m =35解方程即可.
【详解】
根据题意,数列{a n }是等差数列,且a 1=3,公差d =2,
所以a n =a 1+(n ﹣1)d =3+2n ﹣2=2n +1,
又因为a m =2m +1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5a 3=35(m ∈N ),
所以m =17,
故选:C .
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式,前n 项和公式,准确计算是关键,属于基础题.
4.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,22cos c a B +=,则A =( )
A .6π
B .56π
C .3π
D .23
π 【答案】B
【解析】根据条件利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简原式,得到关于A 的三角等式,即可计算出A .
【详解】
22cos c a B +=2sin 2sin cos B C A B +=,
又因为()C A B π=-+()2sin 2sin cos B A B A B ++=,
2sin cos 0B B A +=,
又因为sin 0B >,所以cos A =,所以56A π=. 故选:B.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形,难度较易.解三角形时注意隐含条件A B C π++=的
使用,同时注意()sin sin C A B =+.
5.如图,在正十二边形ABCDEFGHIJKL 内任取一点,则该点恰好在六边形ACEGIK 内的概率是( )
A .3 B
.3 C .53 D .43 【答案】B
【解析】根据图形的对称性,截取图形的
16进行分析,再根据几何概型的概率求解公式求解出结果.
【详解】
取原图形的16
,如下图所示,设1AB AC BC ===,且30DAB DAC ∠=∠=︒,
所以1311sin 6024
ABC S =⨯⨯⨯︒=V ,11=211sin 3022ABDC S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭四边形, 所以目标事件的概率36341262
P ==⨯. 故选:B.
【点睛】
本题考查利用几何概率模型求解概率,难度较易.常见的几何概率模型的种类:长度、面积、体积,对应的概率公式为:
()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
6.已知某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A .6π
B .5π
C .4π
D .3π
【答案】D 【解析】根据三视图的特点,将三棱锥放置到正方体中,根据正方体计算出三棱锥外接球的表面积.
【详解】
在正方体中作出三棱锥的直观图(红色部分所示),
可知三棱锥的外接球即为正方体的外接球,设外接球半径为R ,
所以222241113R =++=,
所以三棱锥外接球表面积为:243S R ππ==.
故选:D.
【点睛】
本题考查几何体的外接球表面积的计算,难度一般.求解几何体外接球的常见方法:(1)若几何体的顶点可以刚好和正方体或者长方体的若干顶点重合,则可以根据正方体或者长方体的外接球完成求解;(2)通过球与圆的性质,确定出外接球的球心,求解出外接球的半径并完成相关计算.
7.我国的“生肖”,指代表十二地支而用来记人的出生年的十二种动物,即鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪,也叫属相.某四人要对十二生肖 选四个画图,每人画一个,每个生肖最多被选一次,且鼠和牛至少选一个,狗和猪都要选,则画图的种数为
( )
A .17
B .204
C .408
D .864
【答案】C
【解析】采用分步乘法计数原理求解,第一步:先选生肖,第二步:将所选的生肖分配给画图的人,再将两个步骤的方法数相乘即可得到结果.
【详解】
第一步:先选生肖,包含以下三种情况:
第一种:鼠入选牛不入选,共18C 可能,第二种:牛入选鼠不入选,共18C 可能;第三种:鼠牛都入选,共1种可能;
第二步:将所选生肖分配给4人,共4424A =种方法; 所以画图的种数为:()1148841408C C A ++⨯=种.
故选:C.
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用,难度一般.对于一个排列组合问题,需要先考虑是按照分步还是分类的方式求解方法数,同时注意特殊元素优先考虑.
8.已知2log a e =,ln3b =,1
1log 2
e c =,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c >>
B .b a c >>
C .c b a >>
D .b c a >> 【答案】A 【解析】对于,a b 采用作差法比较大小,对于,b c 需要先化简c ,再根据对数函数的单调性比较大小,由此可得,,a b c 的大小关系.
【详解】 因为211ln 2ln 3log ln 3ln 3ln 2ln 2
a b e -⋅-=-=-= 因为2ln 2ln3ln 6ln 2e +=<=,所以2
ln 2ln 312+⎛⎫< ⎪⎝⎭
, 所以()22ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln 320ln 24ln 2
a b +⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭->=>,所以a b >, 又因为1
1log log 2ln 2ln 32
e e c b ===<=,
所以a b c >>.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用对数函数的单调性、作差法比较对数值大小,难度一般.(1)不同底数的对数值比较大小,可采用取中间值或者作差的方法进行比较;(2)同底数的对数值比较大小,可直接根据函数的单调性比较大小.
9.函数y =sin (x π6-)的图象与函数y =cos (2x π3
-)的图象 A .有相同的对称轴,但无相同的对称中心
B .有相同的对称中心,但无相同的对称轴
C .既有相同的对称轴,也有相同的对称中心
D .既无相同的对称中心,也无相同的对称轴
【答案】A
【解析】试题分析:函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为2,6223k x k x k Z π
ππππ-=+
⇒=+∈ 函数cos 3y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭的对称轴为,33x k x k k Z π
π
ππ-=⇒=+∈;当0k =时,二者有相同的对称轴3x π
=;同理,由三角函数的性质可得函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,二者没有相同的对称中心
【考点】三角函数的对称轴,对称中心
10.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为1CC 中点,过点A 作平面//α平面DBE ,平面α与侧面11BCC B 交于线段MN ,点P 为线段MN 上任意一点,则线段DP 长度的最小值是( )
A .
B
C .
D .3 【答案】B。