白鹭洲中学2020-2021学年高三年级上学期第三次周考数学理科试卷第I 卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知复数1=-iz i（i 为虚数单位），则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{|10}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|21}x x -<<-D ．{|1}x x <-3．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80 C ．90 D ．110 4．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤5．已知非零向量,a b 满足，||||a b =，(2)0a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 6．若(3)nx x-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．）540B ．）162C ．162D ．5407．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位9．函数()f x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点A ，B ，C ，O 满足：①AB BC λ=（0λ≠）；②A ，B ，O 确定一个平面；③398OB a OA a OC =+，则100S =（ ） A ．29B ．40C ．45D ．5011．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．已知函数()21,20ln ,0x x f x x x e⎧--≤≤=⎨<≤⎩，方程()f x a =恰有两个不同的实数根1x 、()212x x x <，则212x x +的最小值与最大值的和（ ）A ．2e +B ．2C ．36e -+D ．34e -+第II 卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________） 14．设,x y R ∈，向量(,1),a x =(2,),b y =(2,2)c =-，且a c ⊥，//b c ，则a b +=_____. 15．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 16．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ③若定义在()∞+∞，- 上的函数)(-1()(x f x f x f =+）满足，则)(x f 是周期函数；④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-． 其中正确的是__________________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c2sin c A =. （1）求角C 的值； （2）若3c =，且2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 18．（12分）已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-. （1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19．（12分）已知322ππα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα．（1）若AC BC →→=，求角α的值；（2）当1AC BC →→⋅=-时，求()22sin sin 21tan ααα++的值．20．（12分）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.201620191将2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数整理得到如下频数分布表2：记2016年至2019年年份序号为(1,2,3,4)x x =，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取)y x y 3115的概率；（2）在表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X 为随机变量，求X 的分布列和数学期望( 数学期望的值保留1位小数)；（3）根据表3的数据建立y 关于x 的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值. 参考数据和公式：1234 2.54x +++==，105112114119112.54y +++==；ˆˆˆy bx a =+；ˆˆay bx =-；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.21．（12分）已知函数()12ln f x x k x x=-+. （1）当3k =-时，求()f x 的极值； （2）若存在[]1,x e ∈，使得()3x f x kx-<-成立，求实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22，23题任选一题作答。

若多做，则按所做第一题计分。

22．（10分）在极坐标系中，直线l 过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与极轴所成的角为23π；点Q 在曲线1ρ=上.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设R 为直线l 上的点，求RQ 的最小值.23．（10分）（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥. （2）已知23x y z ++=222x y z ++的最小值.白鹭洲中学2020-2021学年高三年级上学期第三次周考数学理科试卷参考答案1．B 【解析】 【分析】先化简复数z 为代数形式，再确定对应的点所在象限. 【详解】 因为()112212ii i i z i +===--,对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选B.【点睛】本题考查了复数的基本运算和复数的几何意义，属于基本题. 2．A 【解析】 【分析】通过韦恩图，可知所求集合为()U N C M ，求解出集合N ，利用集合运算知识求解即可． 【详解】由()2020x x x +<⇒-<<，即{}20N x x =-<< 图中阴影部分表示的集合为：()U N C M又{}1U C M x x =≥-(){}10U N C M x x ∴⋂=-≤<本题正确选项：A 【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】 利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 4．C【解析】 【分析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】解：因为{}|12A x x =≤≤，2,0x A x a ∀∈-≤为真命题，所以()2maxa x≥，x A ∈，因为函数()2f x x =在[]1,2上单调递增，所以()2max4x=，所以4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞所以命题“2,0x A x a ∀∈-≤，{}|12A x x =≤≤”是真命题的一个充分不必要条件为5a ≥故选：C 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算及向量的模相等，即可求出夹角. 【详解】22(2)22||||cos ,||0a b b a b b a b a b b →→→→→→→→→→→+⋅=⋅+=<>+=，且||||a b →→=，2cos ,10a b →→∴<>+=， 1cos ,2a b →→∴<>=-，2,3a b π→→∴<>=，故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，考查了数量积的性质，属于中档题. 6．A 【解析】试题分析：根据题意，由于n⎛ ⎝展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为3336(540C =- ，故答案为A. 考点：二项展开式的通项公式点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．A 【解析】 【分析】由题意可得0m =，可得||()21x f x =-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得． 【详解】定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数， (1)f f ∴-=（1），即|1||1|2121m m ----=-，解得0m =，检验得当0m =时，原函数为偶函数.||()21x f x ∴=-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减， 312(0,1)8-=∈，31m =，0.52|log 3|log 31=>，30.5(2)(3)(log 3)m f f f -∴<<，即a b c << 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 8．A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9．A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解.【详解】()()f x f x -====-，()f x ∴为奇函数，排除B ，C ；又3()()0,()022f f f πππ===>，排除D ； 故选：A.【点睛】本题主要考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】由题知、、A B C 三点共线，又398OB a OA a OC =+，得3981a a +=，由等差数列的前n 项和公式算出100S . 【详解】AB BC λ=，A B C ∴、、三点共线，又由②③得3981a a +=，因为等差数列{}n a ，所以()()1100391080100=50502S a a a a +=+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了共线向量定理，等差数列的前n 项和，等差数列的性质，考查了学生的运算求解能力. 11．B 【解析】 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0.故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围，将21x 、2x 用a 表示，可将212x x +表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求得212x x +的最大值和最小值，进而可求得结果. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当31a -≤≤时，直线y a =与函数()y f x =的图象有两个交点()1,x a 、()2,x a ，12x x <，则2121ln x a x a ⎧-=⎨=⎩，可得2121ax a x e⎧=-⎨=⎩，则2121ax x e a +=-+， 构造函数()1xx g x e =-+，其中31x -≤≤，则()1xg x e '=-.当-<3≤0x 时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当01x <≤时，()0g x '>，此时函数()yg x =单调递增.所以，()()min 02g x g ==，()334g e --=+，()1g e =，显然()()31g g ->，()()3max 34g x g e -∴=-=+.因此，212x x +的最大值和最小值之和为33426e e --++=+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求解代数式的最值，解题的关键就是将212x x +表示为以a 为自变量的函数，考查计算能力，属于中等题. 13．3- 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．14 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直关系求出x ，y 的取值，再求向量之和的模长. 【详解】a c ⊥220x ⇒-+=1x ⇒=(1,1)a ⇒=，//b c 420y ⇒+=2y ⇒=-(2,2)b ⇒=-(3,1)a b ⇒+=-||a b ⇒+==.【点睛】本题考查向量的数量积、向量模的求法，属于基础题. 15．1-. 【解析】【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案.【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =， 令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b ++⋯+=-； 故答案为：1-【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.16．③【解析】试题分析：对应①当0≥a 时，()()44=+f a f ，即44=+a ，解得4=a ；当0<a 时，()()44=+f a f 即44=+-a ，解得4-=a ，故4±=a ，故①不正确；对应②把x y 2sin =的图象向左平移3π单位，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322sin 32sin ππx x y ，故②不正确；对应③()()[]()()x f x f x f x f =+-=++=+1112故函数()x f 的周期2=T ，故③正确；对于④由于()x f 是奇函数，()()011=-=-f f ，不等式()0<x f的解集{}10,1|<<-<x x x 或，故④不对．考点：函数性质的综合应用．17．（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】（12sin c A =，利用正弦定理中的边化角公式，求出C ∠；（2）由ABC S ∆=in 12s S ab C =，求出ab ，再利用余弦定理求得22a b 15+=，即可求出+a b ，因而得出ABC ∆的周长.【详解】（1）sin sin c A C a ==，∵C 是锐角，∴3C π=. （2）1sin 62ABC S ab C ab ∆==⇒=， 222222cos 915c a b ab C a b =+-=⇒+=，∴()222227a b a b ab a b +=++=⇒+=从而，周长3a b c ++=.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理来解三角形，同时涉及三角形的面积公式和周长. 18．（1）证明见解析（2）1122n n --+ 【解析】【分析】（1）由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案; （2）由（1）知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】（1） ()*124n n na a n N a +=∈- ∴ 1412122n n n n a a a a +-==-， 则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠，∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知1212n na --=， ∴121211222n n n a --+==+， 故其前n 项和为:()11121221222n n n n n S ---=+=+-. ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为:1122n n --+. 【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n 项和公式和等差数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于基础题.19．（1）54πα=；（2）-59. 【解析】【分析】 （1）首先可以通过()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，写出AC →和BC →，然后由向量的模的运算，将AC BC →→=化简可得cos sin αα=，最后通过322ππα<<即可得出角α的值； （2）由于1AC BC →→⋅=-，根据向量的数量积运算化简得到2cos sin 3αα+=，再通过2cos sin 3αα+=化简得到52sin cos 9αα=-，最后利用同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式进行化简，即可得到()22sin sin 21tan ααα++的值． 【详解】解：（1）已知()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，， 所以()cos 3sin AC αα→=-，，()cos sin 3BC αα→=-，， 因为AC BC →→=，所以()()2222cos 3sin cos sin 3αααα-+=+-，化简得cos sin αα=，即()4k k Z παπ=+∈， 因为322ππα<<，所以54πα=； （2）由1AC BC →→⋅=-可得()()cos 3cos sin sin 31αααα-+-=-， 化简得2cos sin 3αα+=，()252sin cos cos sin 19αααα=+-=-， 所以()222sin sin 22sin 2sin cos cos sin 1tan cos ααααααααα++=++ 222sin cos 2sin cos 52sin cos cos sin 9αααααααα+===-+， 综上所述，()22sin sin 251tan 9ααα+=-+． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量的模和向量数量积的应用，以及同角三角函数关系和二倍角的正弦公式的应用，考查化简计算能力.20．（1）1324； （2）分布列见解析，112.2； （3）22ˆ101.55y x =+，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值123.5. 【解析】【分析】（1）根据频数分布表2，得到频数共有16个，其中不小于115共有5个，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）由表2，得出102.5,107.5,112.5,117.5X =，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望；（3）由表中的数据，利用公式，求得22ˆ5b =，进而求得ˆˆ101.5a y bx =-=，求得回归直线方程，进而作出预测.【详解】（1）根据2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数的频数分布表2，可得频数共有227616+++=个，其中不小于115共有5个，所以从2016年至2019年该城市各季度消费者信心指数中任取2个，至少有一个不小于115的概率为2115511216651312024C C C P C +===. （2）由表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，则任取一个消费者信心指数X 为随机变量，可得随机变量的可能取值为102.5,107.5,112.5,117.5X =，其中2121(102.5),(107.5)168168P X P X ======, 75(112.5),(117.5)1616P X P X ====, 所以随机变量的分布列为： 可得随机变量的期望为()1175102.5107.5112.5117.5112.2881616E X =⨯+⨯+⨯+⨯≈. （3）由题意知1234 2.54x +++==，105112114119112.54y +++==， 又由()()1(1 2.5)(105112.5)(2 2.5)(112112.5)n i ii x x y y =--=--+--∑ (3 2.5)(114112.5)(4 2.5)(119112.5)22+--+--= ()222221(1 2.5)(2 2.5)(3 2.5)(4 2.5)5n i i x x =-=-+-+-+-=∑，所以()()()12122ˆ5ni ii n ii x x y y b x x ==--==-∑∑， 又由22ˆˆ112.5 2.5101.55ay bx =-=-⨯=， 所以变量y 关于x 的线性回归方程22ˆ101.55y x =+， 当5x =时，22ˆ5101.5123.55y =⨯+=， 即预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值123.5.【点睛】本题主要考查了古典概型及概率的计算，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，结合表格中的数据，结合公式准确计算是解答的关键，着重考查运算能力，属于中档试题.21．（1）极大值为13ln 212f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的极小值为()11f =；（2）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间，然后可得极值；（2）不等式转化为0n 1l x k k xx ++-<有解，引入函数()1ln k h x x k x x +=+-，只需()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，【详解】解：（1）当3k =-时，()()()2222211132312x x x x f x x x x x---+'=+-==. ∵0x >，∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x '>； 当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<. ∴()f x 的递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，()f x 的递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的极大值为13ln 212f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的极小值为()11f =. （2）若[]1,x e ∃∈，使得()3x f x k x -<-成立， 即ln l 2n 1130k k x x k k x x xx x x +-++-⇒-<-<有解， 设()1ln k h x x k x x+=+-，只需()h x 在[]1,e 上的最小值小于0， ()()()221111x x k k k h x x x x+-+⎡⎤+⎣⎦'=--=. ①当0k ≤时，[1,e]x ∈时，()0h x '>，()h x 在[]1,e 上单调递增，()()min 11102h x h k k ==++<⇒<-.∵20-<，∴2k <-.②当11k e <+<，即01k e <<-时，[1,1)x k ∈+，()0h x '<，(1,]x k e ∈+时，()0h x '>，()h x 在区间[]1,1k +上单调递减，在区间[]1,k e +上单调递增，∴()()()()min 111ln 12ln 1h x h k k k k k k k =+=++-+=+-+.∵11k e <+<，）()()0ln 110ln 1k k k k <+<⇒<+<，∴()2ln 12k k k +-+>，不满足题意.③当1k e +≥，即1k e ≥-时，[1,e]x ∈时，()0h x '<，()h x 在[]1,e 单调递减， ()()2min 1101k e h x h e e k e k e ++==+<>⇒--. 又∵2111e e e +>--，）211e e k +>-. ∴实数k 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究不等式有解问题，解题方法是转化为函数的最小值小于0．旨在考查学生的运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，分类讨论思想．22．（1）sin()3πρθ+=（21【解析】【分析】（1）求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程； （2）求出圆心到直线的距离d ，RQ 的最小值为d r -.【详解】（1）由2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得点P 的直角坐标P ， 因为直线l 与极轴所成的角为23π，所以斜率k =直线方程为1)y x -=-，0y +-=，根据cos ,sin x y ρθρθ==cos sin 0θρθ+-=，化简可得：sin()3πρθ+=，（2）由1ρ=可得，221x y +=，则圆心到直线l 的距离d ==所以RQ 的最小值为1d r -=. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了点到直线的距离，圆的几何性质，属于中档题.23．（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.【详解】（1）,,1a b R a b +∈+=1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，()()2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当123x y z ==时取等号， 即222x y z ++的最小值为1【点睛】本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.。