图1
图2
3
19. （7 分）已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x 4k 2 0 .
（1）求证：不论 k 取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰 ABC 一边长 a 4 ，另两边长 b ， c 恰好是这个方程的两根，求 ABC 的面积.
20. （7 分）从甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停 靠站 A 的距离为 300 米，与公路上另一停靠站 B 的距离 400 米， A 、 B 的距离是 500 米，为了安全起见爆 破点 C 的周围半径 250 米范围内有危险不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段是否有危险是否需要暂时 封锁？请通过计算进行说明.
2 短，得 AP 最小值为 6 8 10 4.8 （等积法），所以 AM 最小值 2.4 .
二、填空题
11. 80
12. 1
13. 3或﹣3
14. 5+1
11. 【解析】期末平均分 80 10％ 75 20％ 70 30％ 90 40％= 80 （分）.
12. 【解析】 3 x2 3x 1 ，解得 x1 1, x2 4 （舍）.
23. （9 分）四边形 ABCD 中， AB=AD ， PE ， PF 分别是边 BC ， CD 的中垂线，连接 PA ， PB ， PC ， PD 延长 AP 交 BC 于点 H ，延长 CP 交 AB 于点 G ，若 AD ∥ BP ， CG AB . （1）判断四边形 ABPD 的形状，并加以证明； （2）证明：∠AHB=45 ； （3）若 BH 6 ， CH 2 ，求 AB 的长度.
合肥市 50 中新 2018-2019 学年九年级（上）开学考
（时间 100min；满分 100 分）
一、 选择题（每题 3 分，共 30 分）
1. 下列二次根式，与 3 是同类二次根式的是( )
A. 18
B. 2 3
C. 27
2. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是（ ）
D. 3
A. AD BC，AB ∥ CD
分.
学生
作业
测验
期中考试
期末考试
小丽
80
75
70
90
12. 最简二次根式 3 x2 与 3x 1 能合并，则 x
.
13.
对于实数
a,b
，定义运算“”：a
b

a 2 ab(a b)
ab

b2
(a

b)
，例如
4
2
，因为
4

2
，所以
4

2

42

4

2

8
。
若 x1, x2 是一元二次方程 x2 5x 6 0 的两个根，则 x1 x2
22

2
.
19. 【解析】(1)证明:


2k
12

4 1
4

k

1 2

于 F ， M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A. 2
B. 2.4
C. 2.6
D. 3
第 10 题图
第 14 题图
二、填空题（每题 3 分，共 12 分）
11. 老师在计算学期平均分的时候按照如下标准，作业占10％ ，测验占 20％ ，期中考试占 30％ ，期末考试
占 40％ ，小丽的成绩如表所示，则小丽的平均分是
4
22. （8 分）家长委员会为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不 超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么没增加一件，购买的所有服装的单价降低 2 元， 但单价不得低于 50 元。按此优惠条件，家委会一次性购买了这种服装付了 1200 元。请问家委会购买了多 少件这种服装？
5
，所以
AB
边上的高为
35 5
，故选
A
.
6. 【解析】解方程 x2 2 x 24 0 得 x1 6, x2 4 ，所以另一条边是 6 ，因为 ABC 是直角三角形，所以
可分情况讨论如下：①若 8 为斜边，则根据勾股定理得第三边为 2 7 ；②若 8 和 6 是直角边，则斜边为10 ，
18. 【解析】① DEF 为直角三角形，证明如下： DE2 EF 2
2
2
8 2 DF 2
2
10 10 ，由勾股
定理可知 DEF 为直角三角形.如下图所示， DEF 即为所求三角形，
7
②
S△DEF

23
1 2
31
1 2
11
1 2
4. 【解析】 考察多边形内角和，（n 2) 180 120n ，解得 n 6 ，故选 B .
5.
【解析】利用等积法即可。由题意，根据割补法易得 SABC
2 2 1 2 1 1 2 1 11 1
2
2
2
3 2
，再
根据勾股定理，解得 AB
22 12
（）
A. 10
B. 2 7
C. 4 或10
D. 10 或 2 7
7. 某机械厂七月份生产零件 50 万个,计划八、九月份共生产零件115.5 万个,设八、九月份平均每月的增长
率为 x ,那么 x 满足的方程是（ ）
A. 50(1 x)2 115.5
B. 50 50(1 x) 50(1 x)2 115.5
.
14. 如图,在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接
PB、PQ ,则 PBQ 周长的最小值为
cm (结果不取近似值).
三、计算（本大题共 2 小题，每小题 4 分，满分 8 分）
15. （4 分）计算：
18 1 5
5
合肥市 50 中新 2018-2019 学年九年级（上）开学考参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
A
B
A
D
C
D
A
B
1. 【解析】此题考查同类二次根式，为简单题.
2. 【解析】考察平行四边形判定，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故选 D .
3. 【解析】考察根的判别式，因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以 =0 ，解得 a 1 .
21. （7 分）【暑假星生活原题】如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上的一动点，过 O 作直线 MN ∥ BC ， 设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E ，交∠BCA 的外角平分线于点 F . （1）求证： EO FO ； （2）当 O 点运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论.
D. 3或1
A. 七边形
B. 六边形
C. 五边形
D. 正方形
5. 如图，在 2 2 的方格中，小正方形的边长是 1 ，点 A、B、C 都在格点上，则 AB 边上的高长为 ( ）
A. 3 5 5
B. 2 5 3
C. 3 5 10
D. 3 2 2
6. 直角三角形的一边长为 8，另一条边是方程 x2 2x 24 0 的一解，则此直角三角形的第三条边长是
B. A B，C D
C. AB BC，AD DC
D. AB ∥ CD , CD AB
3. 关于 x 的一元二次方程 x(x 1) ax 0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2或2
4. 一个多边形的每一个内角均为 120 ，那么这个多边形是 ( )
A. 中位数是 6.5
B. 众数12
C. 平均数是 3.9
9. 已知 a、b 是方程 x2 2 x 1 0 的两根，则 a2 a 3b 的值是（ ）
D. 方差是 6
1
A. 7
B. 5
C. 5
D. -7
10. 如图，在 ABC 中，AB 6 ，AC 8 ， BC 10 ，P 为边长 BC 上一动点，PE AB 于 E ，PF AC
C. 50(1 x) 50(1 x)2 115.5
D. 50 50(1 x) 50(1 2 x) 115.5
8. 为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了 10 名学生周阅读用时数，结果如下表：
周阅读用时数（小时） 学生人数（人）
4
5
8
12
3
4
2
1
则关于这 10 名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（ ）
故选 D .
7. 【解析】考察一元二次方程实际应用之百分率问题，注意题目说的是八、九月份共产零件，故选 C .
8. 【解析】该题为简单题，要牢记公式，根据表格易得中位数为 5 ，众数为 5 ，平均数为 6 ，方差为 6. 9. 【解析】由题意，根据韦达定理得 a b 2, ab 1 ，又因为 a，b 是方程的两个根，故 a2 2a 1 0 ， a2 1 2a ，所以原式 1 2a a 3b 1 3(a b） 7 . 10. 【解析】如图所示，连接 AP ，在 ABC 中， AB 6，AC 8，BC 10 ，∴ BAC 90 . ∵ PE AB，PF AC ，∴四边形 AFPE 为矩形，∴ EF AP .又 M 是 EF 中点，根据矩形性的性质，得 AM 1 AP ，所以求 AP 最小值即可.根据点到直线的距离垂线段最