2018-2019学年第一学期期末调研测试高一数学 2019.1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}1,2,5A =，{}2,3B =，则A B ⋂= ▲ ． 2．函数()0.2()4f x log x =-的定义域为 ▲ ．3．已知角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值是 ▲ ．4．已知向量()3,5AB =，()4,1AC =，则向量BC 的坐标为 ▲ ．5．已知45cos α=，且α是第四象限角，则2cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ ． 6．下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是 ▲ （只要填写序号）．①x y e -=；②y x =；③y lnx =；④y x =．7．已知函数()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则()3f x =，则x 的值是 ▲ ．8．已知函数()35x f x x =+-的零点()0,1x n n ∈+，*n N ∈，则n 的值是 ▲ ． 9．计算：3525ln e log += ▲ ．10．把函数y sinx =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图像的函数解析式为 ▲ ．11．某次帆船比赛LOGO （如图1）的设计方案如下：在Rt △ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC （如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt △ABO 面积的一半，设()AOB rad α∠=，则tan αα的值为 ▲ ．12．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，1λ，2R λ∈，则12λλ+的值为 ▲ ．13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 落在矩形的左边AD 上，设折痕所在的直线与AB 交于M 点，设翻折∠MCM 为θ，则tan θ的值是 ▲ ．14．已知函数()21,0(1),0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，设函数()()()()g x f x f x k k R =--+∈．若函数()g x 在R 上恰有不同的零点，则k 的值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90 分）15．（本题满分14分）设全集U R =，已知集合{}1,2A =，{}|03B x x =≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集． (Ⅰ）写出集合A 的所有子集；(Ⅱ）求U B 和B C ⋃．设向量(,1)a cosx =，(3,4)b sinx =，函数()f x a b =⋅．(Ⅰ）若a b ⊥，求tanx 的值； (Ⅱ）若()a b +∥b ，且0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求向量b 的模．17．（本题满分14分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()(1)f x log x =-．(Ⅰ）当0x >时，求函数()f x 的表达式；(Ⅱ）记集合(){}2|()11M x f x log x ==-+，求集合M ．某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度，已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法： 方法Ⅰ（如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A ，计算并记录仰角()rad α；②后退a 米，重复①中的操作，计算并记录仰角()rad β．方法Ⅱ（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B ，测出教学楼的视角()ACB rad γ∠=；测试点与教学楼的水平距离b 米．请你回答下列问题：(1）按照方法Ⅰ，用数据α，β，a ，h 表示出教学楼AB 的高度；(2）按照方法Ⅱ，用数据γ，b ，h 表示出教学楼AB 的高度．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A ，(5,12)B ．(Ⅰ）求OA OB ⋅的值；(Ⅱ）若AOB ∠的平分线交线段AB 于D 点，求点D 的坐标；(Ⅲ）在单位圆上是否存在点C ，使得64CA CB ⋅=？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数． (Ⅰ）若()2xf x x =-，()0,x ∈+∞，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由； (Ⅱ）若31()44f x x x =-+，x R ∈是“a 距”增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ）若()2()2,1,x k x f x x +=∈-+∞，其中k R ∈，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．参考答案一、填空题1．{}2；2．(),4-∞；3．－2；4．()1,4-；5．35；6．①；78．1；9．7；10．23y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 11．12；12．25；11112222MN MC CN BC CD AD AB =+=+=-，1122AM AB BM AB BC AB AD =+=+=+， 1122BN BC CN AD CD AB AD =+=+=-+，1212121122MN AM BN AB AD λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112122111522113225λλλλλλ⎧⎧=--=-⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩；13．13；设BM x =，sin θ=62x cos x θ-=，22262101212110033x x cos sin x tan x x θθθ-=-⇒=-⇒=⇒=+；14．答案：14±（分离参数法，数形结合）． 二、解答题（本大题共6小题，共90 分）15．答案：(Ⅰ）∅，{}1，{}2，{}1,2；(Ⅱ）()(),03,U B =-∞⋃+∞，[]1,3B C ⋃=-．16．答案： (Ⅰ）4tanx =-； (Ⅱ）(4)a b cosx sinx +=+，()a b +∥b⇒4(4)2sinx cosx sinx sin x =+⇒=， 22,3x k k Z ππ⇒=+∈或22,3k k Z ππ+∈，,6x k k Z ππ⇒=+∈或,3k k Z ππ+∈，又0,46x x ππ⎡⎤∈⇒=⎢⎥⎣⎦， (3,2)7b b =⇒=．17．答案：(Ⅰ）0x >时，0x -<，2()(1)f x log x -=+，又()f x 是定义在R 上的偶函数2()()(1)f x f x log x ⇒-==+，即0x >时，2()(1)f x log x =+；(Ⅱ）()()222,1112,1log x x log x log x x ≥⎧⎪-+=⎨-<⎪⎩， ①1x ≥时，22(1)1log x log x x x =+⇒=+⇒方程无解；②01x <<时，221(2)(1)212log x log x x x x -=+⇒-=+⇒=； ③0x ≤时，22(2)(1)21log x log x x x -=-⇒-=-⇒方程无解；综上：12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．18．答案：(1）tan tan a h tan tan αβαβ⋅⋅+-； (2）2tan b bh h b tan hγγ⋅-++⋅．19．答案：(Ⅰ）63；(Ⅱ）设(,)D x y ，则(3,4)AD x y =--，(2,8)AB =，D 在线段AB 上AD ⇒，AB 共线8(3)2(4)x y ⇒-=-． 48y x ⇒=-；OD 平分OA OD OB OD AOB AOD BOD cos AOD cos BOD OA OD OB OD ⋅⋅∠⇒∠=∠⇒∠=∠⇒=⋅⋅74y x ⇒=，又32948569x y x y ⎧=⎪⎪=-⇒⎨⎪=⎪⎩，即3256,99D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (Ⅲ）假设存在这样的点(),C cos sin αα，则()3,4CA cos sin αα=--，()5,12CB cos sin αα=--()()()()3541264168CA CB cos cos sin sin sin cos αααααα⋅=--+--=--，若64CA CB ⋅=，则516802sin sin cos cos sin cos αααααα⎧=⎪⎪--=⇒=-⇒⎨⎪=⎪⎩5sin cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即存在满足条件的点C ，点C 坐标为；,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．20．答案：(Ⅰ）()f x 为“1距”增函数，理由如下：取任意的()0,x ∈+∞，则21x >，则()1(1)()21221110(1)()x x x f x f x x x f x f x ++-=-+-+=->-=⇒+>⇒()f x 为“1距”增函数； (Ⅱ）取任意的x R ∈，()f x 为定义在R 上的 “a 距”增函数()()f x a f x ⇒+>()()()()33332211114403304444x a x a x x x a x a a x ax a a +-++>-+⇒+-->⇒++->，又0a >， 2213304x ax a ⇒++->对于任意的x R ∈恒成立0⇒∆<21a ⇒>，0a >(1,)a ⇒∈+∞； (Ⅲ）()f x 为定义在()1,-+∞上的“2距”增函数⇒对于任意的()1,x ∈-+∞，均有(2)()f x f x +>⇒ ()()()2222222222244x k x x k x x k x x k x k x x x ++++>⇒+++>+⇒+->--，当10x -<≤时，()22222(1)0x x x x x x +-=+--=+=+>；当0x >时，2220x x x x +-=+-=>，故20x x +->；442x k x x --⇒>+-，设()()2,1044222,02x x g x g x x x x x --<≤⎧--==⇒≤-⎨-->+-⎩，即2k >-； ①0k ≥时，()(0)1min f x f ==，②20k -<<时，24()()22k min k f x f -=-=．。