高二文科数学圆锥曲线基础训练1．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （ ）A ．—36<k<36B ．k>36或k< —36C ．—36≤k ≤36D ．k ≥36或k ≤ —36 【答案】B【解析】 试题分析：由⎩⎨⎧=++=632222y x kx y 可得 ：（2+3k 2）x 2+12kx+6=0，由△=144k 2-24（2+3k 2）＞0得k>36或k< —36，此时直线和椭圆有两个公共点。
2．抛物线4x y 2=上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )A. 0B. 1516C. 78D. 1716【答案】A 试题分析：设M ()00,y x ，因为M 到焦点的距离为1,所以110=+x ，所以00=x ，代入抛物线方程4xy 2=得00=y 。
3．过点（0，1）与双曲线221x y -=仅有一个公共点的直线共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A.21B.23C.22D.33【答案】C5．若椭圆)0(122>>=+n m ny m x 和双曲线)0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）A ．m-aB ．)(21a m - C ．22a m - D ．a m -【答案】A【解析】设P是第一象限的交点，由定义可知1212PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 12PF PF m a ∴=-6．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（）A.17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x y D ．)0(17922>=-x y x 【答案】D7．已知k ＜4,则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 ( ) A. 相同的准线 B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴【答案】B8．抛物线)0(2<=a ax y 的焦点坐标是( )A .⎪⎭⎫⎝⎛0,21a B.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛a 41,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 41,0 【答案】C9．抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）A. B. C.2 【答案】A10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两焦点分别为21,F F ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F ，4521=∠AF F ，则椭圆的离心率e 等于 ( )A.33B.12-C.13-D. 215- 【答案】B 由0211=⋅F F AF 得112AF F F ⊥,又4521=∠AF F ，112AF F F ∴=即22b c a=，整理的2220c ac a +-=2210,1e e e ∴+-==11．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________【答案】1728122=+y x 【解析】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=31•2a=6，得c=3，因此，b 2=a 2-c 2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y 轴上，可得此椭圆方程为1817222=+y x . 12．过椭52x ＋42y ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求弦AB 的长_______【答案】35513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .14．过点(1,2)总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .【答案】2k <<3k <<-【解析】2222150x y kx y k ++++-=表示圆需要满足22224(15)0k k +-->，解得33k -<<，又因为过圆外一点可以作两条直线与圆相切，所以点(1,2)在圆外，所以2221222150k k +++⨯+->，所以3k <-或2k >，综上所述，实数k 的取值范围是2k <<3k <<-15．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为5，则m ＝ .【答案】4±. 16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22。
过F 1的直线交椭圆C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 。
【答案】221168x y +=【解析】有题意易知：⎪⎩⎪⎨⎧==16422a a c ，所以22224===c b a ，，，所以C 的方程为221168x y +=。
17．已知双曲线121422=-y x ，12,F F 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且2211,,PF F F PF 成等差数列，则21F PF ∆的面积为 ．【答案】715【解析】试题分析：不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|-|PF 2|=4………………①又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，|F 1F 2|=10，所以|PF 1|+|PF 2|=20………………②由①②可得|PF 1|=12，|PF 2|=8．所以由余弦定理得：cos∠F 1PF 2=169812210-812222=⨯⨯+，所以sin∠F 1PF 2=1675，所以21F PF S ∆=|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=715。
18．(本题满分12分)双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点(15，4)，求其方程． 解：椭圆2213627y x +=的焦点为(0，3)，c=3， 设双曲线方程为222219y x a a-=-， ∵过点154)，则22161519a a -=-得a 2=4或36，而a 2<9，∴a 2=4， 双曲线方程为22145y x -=． 19．（本题满分12分）已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 【解析】（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 20．（本小题满分12分）过点(1,0)直线L 交抛物线x y 42=于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，抛物线的顶点是O ．(ⅰ)证明：OB OA ⋅为定值；(ⅱ)若AB 中点横坐标为2，求AB 的长度及L 的方程．【解析】（ⅰ)设直线L 的方程为1+=my x ，代入x y 42=，得0442=--my y ，∴421-=y y ，∴144222121=⋅=y y x x ， ∴OB OA ⋅=1212x x y y +=-3为定值；(ⅱ) L 与X 轴垂直时，AB 中点横坐标不为2，设直线L 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)2(22222=++-k x k x k ，∵AB 中点横坐标为2，∴4)2(222=+kk ，∴2±=k ， L 的方程为)1(2-±=x y ．|AB|=221++x x =624)2(222=+=+k k ，AB 的长度为6. 21．已知椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为)0,22(，G 上的点到点F 的最大距离为)23(2+，斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2） （1）求椭圆G 的方程；（2）求PAB ∆的面积。
【解析】（1）因为椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为)0,22(，所以c=22，因为G 上的点到点F 的最大距离为)23(2+，所以a+c=)23(2+，又因为222c b a +=，所以a=32，b=2，c=22，所以椭圆G 的方程为141222=+y x 。
（2）易知直线l 的斜率存在，所以设直线l 为：m x y +=，联立椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x mx y 得：012-36422=++m mx x ，设)y (x ),(2211，，B y x A ，则2,412-323-2122121m y y m x x m x x =+==+，， 过点P （-3,2）且与l 垂直的直线为：1--x y =，A 、B 的中点M 在此直线上，所以.2=m所以A 、B 的中点坐标为M （2123-，），所以|PM|=223， 又|AB|=23|x -x |1212=+k ，所以S=29|AB ||PM |21=⨯。
22．（15分）已知椭圆C ：22221(0),x y a b a b +=>>以双曲线2213x y -=的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点．①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA ，MB 与直线x ＝4分别交于点P ，Q ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(1)易知双曲线2213x y -=的焦点为(－2,0)，(2,0)则在椭圆C 中a ＝2，e，故在椭圆C 中c b ＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)①设M(x 0，y 0)(x 0≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，则k MA ＝002y x +，k MB ＝002y x -，故k MA ·k MB ＝002y x +002y x -＝20204y x -，点M 在椭圆C 上，则220014x y +=，即220014x y =-201(4)4x =--， 故k MA ·k MB ＝14-，即直线MA ，MB 的斜率之积为定值。