关于代数余子式的重要性质
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,
0
,
当 当
i i
j, j;
n
D , 当 i j,
aki Akj
k 1
D ij
0
,
当
i
j;
1 , 当 i j，
ij
0
,
当i
j.
4 Cramer 法则
在线性方程组中
若常数项 b1 , b2不, 全, b为n 零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、 负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、 行最简形矩阵、标准形
3、矩阵的运算
1）、加法若 A (aij )mn , B (bij )mn，
规定 A B (aij bij )mn
注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.
2）、数乘 若 A (aij )mn , R,
注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.
k
2、ｋ只能是正整数.
5）、转置
把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵， 叫做Ａ的转置矩阵，记作 A .or.. A
设Ａ为ｎ阶方阵，若 AT ，A即 a，ij a ji
那么Ａ称为对称矩阵.
设Ａ为ｎ阶方阵，若 AT ， A即 a，ij a ji
那么Ａ称为反对称矩阵.
An1
An2
Ann
二、行列式 1 n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
1
p1 p2 pn
t a p1 1a p2 2 a pnn
an1 an2 ann
或 D
1
a a t 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2 pn
其中 t为排列 p1 p2 的p逆n 序数.
2 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT. D
若常数项 b1 , b2全, 为, b零n ，则称此方程组为齐次 线性方程组.
如果线性方程组的系数行列式 D 则0线, 性方 程组一定有解,且解是唯一的 .行列式必为零.
5 行列式的求法 a1 a2 b1 0
1）、定义法 0 b2
an1 an 00 00
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全 相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k，等于用数 乘k 此行列式.
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.
D1
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
D2
a11
a21b
a12 b1 a22
an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n
a
2n
b2n
,
ann
证明 D1 D2
12）、数学归纳法
cos
1 0 Dn
1
2cos
1
0 1
2cos
0
0
0
0
0
0
00 00 00
cos n .
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式 不变．
3 行列式按行和列展开
余子式与代数余子式
在 n阶行列式中，把元素 a所ij 在的第 行i和第 列j 划去后，留下来的 n 阶1行列式叫做元素 的ai余j 子式， 记作 M.ij
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a的ij 代数余子式．
00 x y0 0xy 00x 2）、展开法
000 y00
bn1 0 00 00 00
xy 0x
3）、加边法
1 x12 x1 x2 x2 x1 1 x22
xn x1 xn x2
4）、拆分法
a1 b1 a2 b1
a1 b2 a2 b2
an b1 an b2
x1 xn x2 xn
1 xn2
a1 bn a2 bn
an bn
950 495 049 5）、递推法
000 000 000
000 000 000
950 495 049
n
01 1
1
1 a1 0
0
6）、三角法 1 0 a2
0
10 0
an
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 7）、Laplace展开定理 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
线性代数 专题课
一、重点和难点
1. 行列式的性质及其计算 2. 矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初
等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩 阵相似对角化 3. n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量 组的极大线性无关组 4. 齐次、非齐次线性方程组解的结构 5. 用正交变换化二次型为标准型
1
1 2cos
三、矩阵
1、矩阵的定义 定义 由数域 F 中的 m n 个数 aij（ i 1,2, ,m;
j 1,2, ,n）排成的 m行 列n 的矩形数表，称为数域
F 中的一个 m n 矩阵.
记作：A (aij )mn Amn (aij ) 注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、 方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等. 2、几种特殊的矩阵
规定 A A (aij )mn
3）、乘法 若 A (aij )ms ，B (bij )sn ,
规定 AB C (cij )mn ,
ｓ
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbs＝j aikbkj ｋ1 （i 1，2， ，m；j 1，2， ，n）
4）、幂 若 A (aij )nn , k Z , 规定 Ak AA A
6）、方阵的行列式 由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的
行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式.
记作 A .or. Det A
７）、伴随矩阵 行列式 A的各个元素的代数余子式 Aij 所构成矩阵的转置.
记作
A11 A21
A
A12
A22
８)、共轭矩阵
A1n
A2n
当 A a为ij 复矩阵时，用
8）、Vander monde行列式
a1n Dn1 a2n
a1n1b1 a2n1b2
a1b1n1
b1n
a2b2n1
b2n
a a b n n1
n1 n1 n1
133
323 9）、综合法 3 3 3
a b n1 n1 n1
3 3 3
bn n1
333
n
10）、降阶法 （略）
11）、定义证明
a11 a12 a1n