2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题）1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。
点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。
（1）球抛物线的解析式。
（2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。
求出点P 的坐标。
2.如图，已知二次函数22y ax x c ＝＋＋的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3，0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数22y ax x c ＝＋＋的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．3.如图，已知二次函数2＝＋＋y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．y x C D BA Oxy P B A C O(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－＋－yx x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标；(2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知二次函数22y ax x c ＝＋＋的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3，0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数22y ax x c ＝＋＋的表达式；(2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．y x M CA OB PH y xD B Al C P O xy PB AC O6.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。
点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。
（1）球抛物线的解析式。
（2）在y 轴上是否存在一点G ，似的GB GD- 的值最大？若存在，求出点G 的左边；若不存在，请说明理由。
7.已知顶点为A 抛物线2122y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭经过点322B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点522C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若＝OPMMAF ∠∠，求△POE 的面积；(3)如图2，点Q 是折线A －B －C 上一点，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将△QEN 沿QE 翻折得到1QEN V ，若点1N 落在x轴上，请直接写出Q 点的坐标．y x C D BA Oy图2N1NF EM ACB O Q yx 图1F EM AC BO P参考答案一、解答题（共有7道小题）1.（1）解：把y=0代入1y x =+，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC 可得C(0，-1)将B(4，m)代入1y x =+可得m=5，所以B(4，5) 所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入()20y ax bx c a =++≠可得0516411a b c a b c =-+⎧⎪=+-⎨⎪=-⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩ ，进而，211122y x x =--（2）22111191=22228y x x x ⎛⎫=----⎪⎝⎭ 所以，函数的对称轴为直线12x =，点A(-1，0)关于直线12x =的对称点为A’(2，0)。
A’C 与直线12x =的交点即为点P 。
设A’C 所在直线解析式为y kx b =+，进而可得112y x =-当12x =时13124y x =-=-所以，点P 的坐标为13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2.解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩， 二次函数的解析是为223yx x ＝－＋＋；(2)若四边形POP′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上， 如图1，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵C(0，3)，∴E(0，32)， ∴点P 的纵坐标32，当y ＝32时，即23232x x =－＋＋， 解得12102x +=，22102x -=(不合题意，舍)，∴点P 的坐标为(2102-，32)；(3)如图2，P 在抛物线上，设P(m ，－m2＋2m ＋3)， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，xy P图1P 'E B A C O xy 图2Q BACOPF将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得3303k b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩． 直线BC 的解析为y ＝－x ＋3， 设点Q 的坐标为(m ，－m ＋3)，PQ ＝－m2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m2＋3m ． 当y ＝0时，－x2＋2x ＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， OA ＝1，AB ＝3－(－1)＝4，ABC PCQ PBQABPC S S S S V V V 四边形＝＋＋＝12AB•OC ＋12PQ•OF ＋12PQ•FB ＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3＝3375228m ⎛⎫ ⎪⎝⎭2－－＋，当m ＝32时，四边形ABPC 的面积最大．当m ＝32时，－m2＋2m ＋3＝154，即P 点的坐标为(32，154)． 当点P 的坐标为(32，154)时，四边形ACPB 的最大面积值为758．3.解：(1)将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y ＝x2－2x －3；(2)设BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y ＝x －3，设M(n ，n －3)，P(n ，n2－2n －3)，PM ＝(n －3)－(n2－2n －3)＝－n2＋3n ＝－(n －32)2＋94， 当n ＝32时，PM 最大＝94；②当PM ＝PC 时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n －3＋3)2， 解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝3， n2－2n －3＝－0， P(3，0)．当PM ＝MC 时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n －3＋3)2，解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3－2，n3＝3＋2(不符合题意，舍)， n2－2n －3＝2－42， P(3－2，2－42)；综上所述：P(3－2，2－42)．4.解：(1)∵y ＝－x2＋6x －5＝－(x －3)2＋4， ∴顶点P(3，4)，令x ＝0得到y ＝－5， ∴C(0．－5)．(2)令y ＝0，x2－6x ＋5＝0，解得x ＝1或5， ∴A(1，0)，B(5，0)，设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有534b k b =-⎧⎨+=⎩，解得35k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y ＝3x －5，设直线交x 轴于D ，则D(53，0)，设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍，∵AD ＝23， ∴BE ＝43，∴E(113，0)或E′(193，0)，则直线PE 的解析式为y ＝－6x ＋22，∴Q(92，－5)，直线PE′的解析式为y ＝－65x ＋385， ∴Q′(212，－5)，综上所述，满足条件的点Q(92，－5)，Q′(212，－5)．5.解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩， 解得13a c =-⎧⎨=⎩， 二次函数的解析是为223yx x ＝－＋＋；(2)若四边形POP′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上， 如图1，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵C(0，3)，∴E(0，32)， ∴点P 的纵坐标32，当y ＝32时，即23232x x =－＋＋， yxE'E Q'Q D BA l CPOxy P 图1P'E B A CO解得12102x +=，22102x -=(不合题意，舍)，∴点P 的坐标为(2102-，32)；(3)如图2，P 在抛物线上，设P(m ，－m2＋2m ＋3)， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得3303k b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩． 直线BC 的解析为y ＝－x ＋3，设点Q 的坐标为(m ，－m ＋3)，PQ ＝－m2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m2＋3m ． 当y ＝0时，－x2＋2x ＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， OA ＝1，AB ＝3－(－1)＝4，ABC PCQ PBQABPC S S S S V V V 四边形＝＋＋＝12AB•OC ＋12PQ•OF ＋12PQ•FB ＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3 ＝3375228m ⎛⎫ ⎪⎝⎭2－－＋，当m ＝32时，四边形ABPC 的面积最大．当m ＝32时，－m2＋2m ＋3＝154，即P 点的坐标为(32，154)． 当点P 的坐标为(32，154)时，四边形ACPB 的最大面积值为758．xy P 图2Q B A COP F6.（1）解：把y=0代入1y x =+，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC 可得C(0，-1)将B(4，m)代入1y x =+可得m=5，所以B(4，5) 所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入()20y ax bx c a =++≠可得0516411a b c a b c =-+⎧⎪=+-⎨⎪=-⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩ ，进而，211122y x x =--（2）连接BD 并延长，交y 轴于点G ，则点G 即为所求。