a | a | a0
a a0 . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a

b

5

1
b

b

3a

2
5
解
a

b

5

1
b

b

3a

2
5

(1

3)a



1

5 2

1 5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
Q N
y
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a

b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
2、向量的线性运算
[1]
加法： a

b

c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若a‖ a b
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)

5
b

2a

5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
二、空间两点间的距离公式
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,

a


b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a

0，那末向量
b
平行于
a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
b

a.
证 充分性显然；

当
b
必要性
设 b‖
a
取
与 a 同向时 取正值，


b a
,
当
b
与
a
反向时

取负值，
即有
b

a.


此时 b 与 的唯一性.
a 同向. 且 a
设
b

a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
第一节 空间直角坐标系与向量的基本知识
一、空间直角坐标系
z 竖轴
三个坐标轴的正方向符合
右手系.
即以右手握住 z 轴，当
右手的四个手指从正向
x轴以 角
2
度转向正向 y 轴时，大
定点 o
横轴 x
y 纵轴
拇指的指向就是 z 轴的
正向.
空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
b
分为同向和反向
c | c || a
|

|
b
|
b a
c
|
c
|
|
a
|

|
b
|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a

b

b

a.
（2）结合律：
a

b

c

(a

b)

c
a

(b

c).
（3）
a

(a)

0.
[2]
减法
a

b

a

(b)

a

b
b
b
b c
a
b
c

a

(b)
a
a

b

a

b
〔3〕、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, a与a 同向，| a | | a |
(2) 0,
a

0
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a

(a

b)
三、向量的概念及线性运算
1、概念：
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1M0 2零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.