第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ ）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FDBF的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。

由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。

解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．A B CDF E（第6题）y xAOCBD EF【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27． 【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键． 6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可．解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴==，∴9S △AEF =S △ABC ， ∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ， 解得：S △ABC =9． 故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE, ∴610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ; (2)FC 2=BF·GF ;(3) 22AB FC =GBGF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得. 证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF , ∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o, ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH ≌△BCG , ∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,∴△CFG ∽△BFC , ∴FCGFBF FC =, 即FC 2=BF ·GF ;(3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF , ∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF ,∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BG FG 即22ABFC =GB GF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA 【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。

难度中等。

10． （2014四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE =60°，BD =4，CE =34，则△ABC 的面积是（ ） A ．83 B ．15C ．93D ．123AF【思路分析】∠ADC = ∠ADE +∠EDC =∠B +∠BAD ，∵∠ADE =∠B =60°，∴∠EDC =∠BAD ．又∵∠C =∠B =60°，∴△ABD ∽△DEC ,∴EC :BD =DC :AB =1:3,∴AB =BC =3DC ,∴BD =2DC ，∴DC =2，∴BC=6，∴△ABC 的面积是93． 【答案】C ．【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解． 11. （山东省威，3,3分）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF:CF=( ). A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5【解题思路】利用△AEF 与△CBF 相似，将AF:CF 转化成AE:BC 的比值.【答案】A. 【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.12．（2014广东省，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（ A ）. 【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.13． （2014山东潍坊，3，3分）如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。

其中正确的有（ ） A ．0 个 B ．1个 C ． 2 个 D ．3个【解题思路】因为DE 是三角形的中位线，所以DE=12BC=1，DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ：S △ABC=2()DE AB =21()2=14． 【答案】D ．【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定．三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半．所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的面积比等于相似比的平方．难度中等．14.（2014年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD 的两边BC 、AB 分别在平面直角坐标系内的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC=23，若点A ′的坐标为（1，2），则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）分析：延长A ′B ′交BC 于点E ，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．解：∵在正方形ABCD 中，AC=23∴BC=AB=3， 延长A ′B ′交BC 于点E ， ∵点A ′的坐标为（1，2）， ∴OE=1，EC=A ′E=3-1=2，∴正方形A ′B ′C ′D ′的边长为1，∴正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是31． 故选B ． 点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 15.（2014陕西18，6分）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ． （1）求证：AB AF =；A ．B ．D ．题3图 FE D CBA（2）当35AB BC ==，时，求AEAC的值． 【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF ∽△CEB 先求出AE EC ，再求AEAC. 【答案】解：（1）如图，在ABCD Y 中，//AD BC ，∴23∠=∠．∵BF 是ABC ∠的平分线， ∴12∠=∠． ∴13∠=∠． ∴AB AF =．（2）23AEF CEB ∠=∠∠=∠Q ，， ∴△AEF ∽△CEB ，∴35AE AF EC BC ==， ∴38AE AC =． 【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等. 16.已知：如图正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点． 求证：△ADQ ∽△QCP ．思路点拨：因△ADQ 与△QCP 是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ 与PQ 是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD 是正方形，Q 是CD 中点，而BP=3PC ，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：是CD 的中点，∴=2证明：在正方形ABCD 中，∵Q ∵=3，∴=4又∵BC=2DQ ，∴=2在△ADQ 和△QCP 中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ ∽△QCP ．17.已知：如图，AD 是△ABC 的高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点． 求证：△DFE ∽△ABC ．思路点拨：EF 为△ABC 的中位线，EF=BC ，又DE 和DF 都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB ，DF=AC ．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．证明：在Rt △ABD 中，DE 为斜边AB 上的中线，∴DE=AB，即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．18．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.19．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，.∴EF=6cm，EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.20.△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC∴∵M为DE中点，∴∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似为什么(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴答：古塔的高度为16m.22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以又因为，所以，所以.因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.23．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F 点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．∵AE︰BE=1︰2，∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．∵S△ADE=1，∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，∴S△ABC=6．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∵AE︰AB=1︰3，∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．∴S△AEF==．总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．举一反三24.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.25.如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ∴S△PQC：S△ABC=1：2∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴S △PQC ：S △ABC =(CP ：CA)2=1：2∴CP 2=42×， ∴CP=.(2)∵S △PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC 的周长)=6∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC∴ ，即：解得，CP=【经典练习】1.如图，已知PN//BC,AD ⊥BC 交BC 于点D ，交PN 于点E 。