机理分析建模法
———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源： ➢与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识； ➢通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的 猜想(模型假设)。
模型特点：有明确的物理或现实意义
在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法：
➢ 运用已知物理定律 ➢利用平衡与增长式 ➢运用微元法 ➢运用分析法
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r 1002 (100 h)2 200h h2
令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， (2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2ghdt (200h h2 )dh
dT
k(T
m)
dt
T (0) 60
其中参数k >0，m=18，求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c 或 T m cekt (t 0)
代入条件，求得c=42 ，
k


1 3
ln 16 21
,
最后得
1 ln 16 t
T (t ) 18 42e 3 21 (t 0)
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单 的模型是：
{Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更一般地
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物 体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持
为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)
(t≥0)， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译成数学语言也就是：dT 与T m成 正 比。
dt
建立微分方程
此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 右端，使平衡式成立。
例1.2(战斗模型) 两方军队交战，希望为这场战斗 建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
1. 预测哪一方将获胜？
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能 赢得这场战斗？ 模型建立
Q dV 0.62S 2gh dt
S—孔口横截面积(单位：平方厘米) h(t) —水面高度(单位：厘米) t—时间(单位：秒) 当S=1平方厘米，有
dV 0.62 2ghdt (1)
r1
h(t) r2
h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh(Δh<0), 容 器中水的体积的改变量为
结果：
T (10)

18
1 ln 1610
42e 3 21

39.3(0 C )
该物体温度降至300C 需要8.17分钟。
2、利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关 变量间的相互关系.
续 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、 死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。
1、运用已知物理定律
建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功 倍。
例1.1 一个较热的物体置于室温为180C的房间内， 该物体最初的温度是600C，3分钟以后降到500C 。想知 道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后它的 温度是多少？
牛顿冷却(加热)定律：将温度为T的物体放入处于 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质 的温度差。
设: x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
假设： 1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与 y(t)都是连续变量。
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；
h t0 100
积分后整理得
3
5
t (700000 1000h2 3h2 )
4.65 2g
(0≤h≤100)
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分。
4、分析法
基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系, 找出反映内部机理的规律。
例1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水 从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。
对孔口的流速做两条假设 ：
1．t 时刻的流速v 依赖于此
2米
刻容器内水的高度h(t)。
2 ．整个放水过程无能量损失。
分析：放空容器
容器内水的体积为零 容器内水的高度为零
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为 通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即
平衡式：
{Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数}
即有：Δx =－ayΔt ，同理：Δy =－bxΔt
令Δt 0，得到微分方程组：
dx


dt dy
ay bx
(a 0) (b 0)
dt
3、微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。
机理分析建模常用方法： ➢常微分方程 ➢偏微分方程 ➢逻辑方法 ➢比例方法 ➢代数方法
➢ 常微分方程建模 微分方程的建立 微分方程的求解 ➢ 逻辑方法建模
目录
一 微分方程建模
当实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化 规律 y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知变 量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足的 微分方程)。