1第四章 机理分析建模法
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认
识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.
*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义
8.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及
自变量的方程
建立变量能满足
的微分方程
2
3在工程实际问题中
“
“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.
建
立方
法常
用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法
机理分析法
一.运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律，
可事半功倍
例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时，T的变化速率正与周围介质的温度差..
比于T与周围介质的温度差
4
5
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为m
m ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，
“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dt
dT −数学语言
6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.
60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程
其中参数k >0，m =18. 求得一般解为
ln(T －m )=－k t+c ,
代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得21
16ln 31,
0,≥+=−t ce m T kt 或
7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e
2116ln 31结果 ：T(10)=18+42 =25.87℃，102116ln 31×e
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系
建立有关变量间的相互关系..
例8.1.2人口增长模型
对某地区时刻t t的人口总数P(t)，除考虑个
对某地区时刻
体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响
影响..
8
9 在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：
{Δt 时间内的人口增长量}=
{Δt 内出生人口数}－{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}－{Δt 内迁出人口数}
{Δt 时间内的净改变量}
={Δt 时间内输入量}－{Δt 时间内输出量时间内输出量}
}般
化更一基本模型
不同的输入、输出情况对应不同的差分或
微分方程.
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.
此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端，
使平衡式成立
10
例8.1.2
8.1.2 战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
预测哪一方将获胜？
1.
1. 预测哪一方将获胜？
估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
2.
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士
兵才能赢得这场战斗？
兵才能赢得这场战斗？
11
问题分析
设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数；
y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数；
假设：
1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵；
3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；
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13即有 Δx =－a y Δt ,
同理 Δy =－b x Δt ,
令Δt 0, 得到微分方程组：
0,>−=a ay dt
dx 0,>−=b bx dt
dy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}
平衡式
14三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.
例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间.
.
152米对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).
2 ．整个放水过程无能
量损失。
分析：放空容器
？
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
16 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q 为通过“孔口横截面的水的体积V 对时间t 的 变化率”，即gh S dt
dV Q 262.0==S —孔口横截面积（单位：平方厘米）
h (t ) ) —
—水面高度（单位：厘米） t —时间（单位：秒）
当S=1平方厘米，有
)
1(262.0dt gh dV =
17h+Δh
在[t ，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为h(t)r 1
2
22200)100(100h h h r −=−−=记r 2)
( ])()(3[6
1)(22221h O h r h o r r h h h V V(h)V ∆+∆−≈∆++∆−=∆+−=∆ππ
18令Δt 0,
得 →dV =－πr 2 dh ， （2） 比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=−−−−===.100,,))200200((226262..000
2t h dh dh h h h h dt dt gh gh ππ积分后整理得
)31000700000(265.42523
h h g t +−=π 0≤h ≤100
令 h =0，求得完全排空需要约2小时58分.
19四.分析法
基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例8.1.4（独家广告模型）（独家广告模型）
广告是调整商品销售的强有力的手段售的强有力的手段, , , 广告与销售量之间有什么内
广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；
20*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；
*3. 选择如下广告策略，t 时刻的广告费用为：
⎩⎨⎧><<=.,
0;0,)(ττt t A t A 建模 记
S(t) S(t) S(t) —
— t 时刻商品的销售速度； M M —
— 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.
直接建立微分方程
)())(1)((t S M
t S t pA dt dS λ−−=称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力.模型分析：是否与前三条假设相符？)())(()(t S t S M M t A p dt dS λ−−=销售速度因广告作用增大, 同时
又受市场余额的限制.
改写模型
225.2 微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论.
一. 微分方程定性理论的基本任务和
主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.
求微分方程的数值解解决
方法对微分方程进行定性分析
23 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态.
微分方程定性分析
基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统
其右端的函数不显含自变量 t ，称为一阶n 维驻定系统(自治系统、动力系统). 若微分方程组
n i x x x f dt
dx n i i ,,2,1),,,,(21⋯⋯==（1）
x
y
t
o
t0
(x,y,t)
解曲线
投影曲线
定义：称平面(x, y)为相平面，称解曲线在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图
相位图..基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析.
24
25 轨线方程可由原方程（1）消去 t 而得到, 相点的运动方向可由原方程确定.
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
若点(x 0, y 0)使 f i (x 0, y 0) =0, 称(x 0, y 0) 为方程(1)的平衡点.
练习
P 129: 4
26。