0
2
16.
解：(1)当0 t 1, ln(1 t) t, ln t [ln(1 t)]n t n ln t ,
(1)

5， 2

(1)

6，已知
d2y dx 2

3 4(1 t)
, 求函数
(t)。
18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现
3
b
将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 2 时，计算油的质量。
kg / m3
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为
）
19.
设函数u f (x, y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4 2u 12 2u 5 2u 0. x2 xy y2
12. 2(e 1)
13.3cm/s 14. 3
三解答题
15.
解：f (x)的定义域(,),由于f (x) x2 x2 et2 dt x2 tet2 dt,
1
1
f (x) 2x x2 et2 dt,所以驻点为x 0,1. 1
列表讨论如下：
x
(,1) -1
C与 m, n 取值都有关 D与 m, n 取值都无关
5.设函数
z

z(
x,
y)
由方程
F
(
y x
,
z x
)

0
确定,其中
F
为可微函数,且
F2

0,
则
x z y z =
x y
Ax
Bz
C x
n n
6.(4) lim
n
=
x i1 j1 (n i)(n2 j2 )
1
C

1 1






0
0
0
1


D

1

1



0
二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程 y 2y y 2y 0 的通解y=_________
_
10.曲线 y 2x3 的渐近线方程为_______________
x
A dx
1
dy
0 0 (1 x)(1 y2 )
1
x
B dx
1
dy
0 0 (1 x)(1 y)
D z
1
1
C dx
1
dy
0 0 (1 x)(1 y)
D
1
dx
0
1
1
0 (1 x)(1 y2 ) dy
7.设向量组 I :1,2 ,，r可由向量组II：1，2，，s线性表示 ，下列命题正确 的是：
(-1,0) 0
(0,1) 1
(1,+ )
f (x) -
0
+
0
-
0
+
f (x)
极小
极大
极小
因此，f (x)的单调增加区间为（-1，0）及（1， ），单调递减区间为
（- ，-1）及（0，1）；极小值为f (1) 0,极大值为f (0) 1tet2 dt 1 (1 e1).
（1）求、a.
(2)求方程组Ax b的通解。
0 1 4
23.设 A 1 3 a ，正交矩阵Q使得 QT AQ 为对角矩阵，若Q的第一
4 a 0
列为 1 (1,2,1)T ，求a、Q.
6
答案：
BACD BDAD
9. C1e2x C2 cos x C3 sin x 10.y=2x 11. 2n (n 1)!
A若向量组I线性无关，则 r s B若向量组I线性相关，则r>s
C若向量组II线性无关，则 r s D若向量组II线性相关，则r>s
8.设 A 为4阶对称矩阵,且 A2 A 0, 若 A 的秩为3,则 A 相似于A
1
1
1


1 1


B

1 1


解，则
A 1, 1
22
C 2, 1
33
B 1, 1
2
2
D 2, 2
33
3.曲线y x2与曲线y a ln x(a 0)相切，则a
A4e B3e C2e De
4.设
m,
n
为正整数,则反常积分
1
0
m
ln2 (1 nx
x)
dx
的收敛性
A仅与 m 取值有关 B仅与 n 取值有关
x2 1
11.函数 y ln(1 2x)在x 0处的n阶导数y(n) (0) __________ 12.当0 时，对数螺线r e的弧长为 ___________
13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增
加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________
确定a,b的值，使等式在变换 x ay, x by下简化 2u 0
20.
计算二重积分I

r2
D
sin
1 r 2 cos 2 drd ,其中D ｛(r, ) 0 r sec ,0 }. 4
21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(
14.设A，B为3阶矩阵，且 A 3, B 2, A1 B 2,则 A B1 __________
三解答题
15. 求函数f (x) x2 (x2 t)et2 dt的单调区间与极值。 1
]n dt
与 1tn 0
ln t
dt(n
1, 2,) 的大小,说明理由.
(2)记 un
1 0
ln
t
[ln(1
t )]n
dt(n

1,
2,),
求极限
lim
x
un .
17.设函数y=f(x)由参数方程
x 2t t 2 ,

y
(t),
(t

1)所确定，其中
(t)具有2阶导数，且
1
(0, 1 ), (1 ,1),使得f ( ) f () 2 2.
1)= 3 ,证明：存在
2
2
22.

设A 0 1
1
1
1
1 a 0 , b 1 .已知线性方程组Ax b存在2个不同的解。
1
二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）
一选择题
1.函数f (x) x2 x 1 1 的无穷间断点的个数为
x2 1
x2
A0 B1 C2 D3
2.设 y1, y2 是一阶线性非齐次微分方程 y p(x) y q(x) 的两个特解，若常
数 , 使 y1 y2 是该方程的解， y1 y2 是该方程对应的齐次方程的