成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.A2.C3.D4.C5.A6.C7.B8.C9.C 10.A 11.B 12.C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.35 14.20202021 15.23 16.三、解答题：（共70分）17. 解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理得a b c b c b a+=--， ()()()a b a b c b c ∴-=+-，即222a b c ab +-=，1cos 2C ∴=┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ()0,C π∈，3C π∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）选②：由正弦定理得sin 0,cos 1sin C A C C A =≠=+， 12sin 1,sin =662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分） ()50,,,666C C ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，,663C C πππ∴-=∴=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）选③：因为23S CA CB =⋅，所以sin cos ab C C =┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（2分） ()tan 0,,3C C C ππ∴=∈∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分） （2）在BCD ∆中，由余弦定理知()222222cos602a b a b +-⨯⨯⨯=┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分）224242222a b ab a b ab ab ∴+-=≥⋅⋅-=，2ab ∴≤，当且仅当2a b =，┄┄┄┄┄┄┄（10分） 即2,1a b ==时取等号，此时ab 的最大值为2， ┄┄┄┄┄┄┄（11分）面积1sin 2S ab C ==. ┄┄┄┄┄┄┄（12分）19.解：（1）证明：连接AC ，底面ABCD 为菱形，60,ABC ABC ∠=∴∆为正三角形， E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥，PA ⊥平面,ABCD AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，,,PA AD A PA AD =⊂平面,PAD AE ∴⊥平面PAD ，AE ⊂平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD . ┄┄┄┄┄┄（5分）（2）由（1）知，,,AE AD AP 两两垂直，故以,,AE AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()))()()())0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1,A B CD P ME -，┄┄┄┄┄┄（7分） ()()()3,1,2,0,2,2,0,0,2PC PD AP ∴=-=-=. 设()3,,2PF PC λλλλ==-，则()3,,22AF AP PF λλ=+=-. ┄┄┄┄┄┄（8分） 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z mPD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1z =(111,1,3,x y m ===.┄┄┄┄┄┄（10分）设直线AF 与平面PCD 所成角为θ，则(sin cos ,7AF mAF m AF m θ⋅====≤⎡⋅⎢ 当12λ=时，sin θ取最大值7，此时F 为PC 的中点.┄┄┄┄┄┄（12分） 20. 解：（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，()()()211,2,10f f x x k f x''==-==， ()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为1y =.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分）（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-=①当0a ≤时，()()0,f x f x '<在[]1,3上单调递减，()()max 114f x f a ∴==≤恒成立，0a ∴≤┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ②当0a >时，()()0,f x x f x '>>∴在⎛ ⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， （i）当1,1a ≤≥时，()f x 在[]1,3上单增，()()max 12ln 3143,49f x f a +=≤≤，舍去； （ii13,09a ≥<≤时，()f x 在[]1,3上单减，()()max 111,44f x f a =≤≤，109a ∴<≤ （iii）当113,19a <<<<时，()f x在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()111114,,149434f a a f ⎧≤⎪⎪≤∴<≤⎨⎪≤⎪⎩， 综上，14a ≤┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） 法2：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4x a x+≤， ┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） 令()()()3823132ln 4ln 42,,0,1x x g x g x g x x e x x +-''==><<. ()g x ∴在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()()12ln 31141,3494g g +==>，┄┄┄┄┄（6分） ()min 14a g x ∴≤= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） （3）因为120x x +>，)()2121220x x x x +-+>，只需证明12x x +>，┄┄┄┄┄┄（8分） 由（2）可知120x x <<<，要证12x x +>，只需证明21x x >-，又因为21x x >->，且函数()f x在⎫+∞⎪⎭单调递增，所以只需证明()21f x f x ⎫>⎪⎭，又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x ⎫>-⎪⎭ 令()()0g x f x f x x ⎫⎛=--<<⎪ ⎭⎝┄┄┄┄┄┄（9分）即()222ln 2ln 42ln 2ln g x ax x a x x x x ⎫⎫⎫=---+=--+-⎪⎪⎪⎭⎭⎭注意到0g = 因为()2221102g x x x x x '=-=≤=⎫--⎪⎭⎪⎪⎝⎭则()g x在⎛⎝单调递减，所以()0g x g >=在x ⎛∈ ⎝恒成立，┄┄┄（11分）所以12x x +>)()2121220x x x x +-+>┄┄┄┄┄┄（12分）21.解：（1）已知,,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，225,,2,a c a c b e b a ∴==∴==∴==┄┄┄┄┄┄┄（4分） （2）（i ）由（1）可得221,:15x b a C y ==∴+=，设直线()()()112233:2,,,,,,l x P x y Q x y N x y =+，112,,22x y OM OP M ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭,联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2810y +-=，0∆>恒成立，1212128y y y y +=-=-，))12121212522348x x y y y y ∴=++=+++=121215OP OQ y y k k x x ∴⋅==-┄┄┄┄┄┄┄（8分） （ii ）设点()33,N x y ，因为NMNQλ=，所以()01,NM NQ λλ=<< 又因为2OM OP =，所以点11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则满足()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭则()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，()()123123221221x x x y y y λλλλ-=-⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩，即()()123123221221x x x y y y λλλλ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,,P Q N 在椭圆上，22222211223355,55,55,x y x y x y ∴+=+=+=()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+⋅=--()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ∴+++-+=-由（i ）可知()221212350,1441,8x x y y λλλ+=∴+=-∴=， 38NM NQ ∴= ┄┄┄┄┄┄┄（12分）22.解：（1）将直线12,l l 的参数方程化为普通方程，得到()121:,:3l y k x l y x k==.┄┄（2分） 两式相乘消去k ，可得2213x y +=. ┄┄┄（4分）因为0k ≠，所以0y ≠.所以曲线1C 的普通方程为()22103x y y +=≠. ┄┄┄（5分）（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=. ┄┄┄（6分） 由（1）知，曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，,k k Z απ≠∈）， ┄┄┄（7分）所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线2:60C x y +-=的距离d ==┄┄┄（9分） 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即76πα=时，d取得最大值为 ┄┄┄（10分）23.解：（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---= , ┄┄┄（3分）∴函数()f x 的最小值2m =. ┄┄┄（4分）（2）证明：法1：（综合法）222a b ab +≥，1,1ab ∴≤，当且仅当a b =时取等号，① ┄┄┄（6分）又1,,222a b ab ab a b a b +≤∴≤∴≤++，当且仅当a b =时取等号，②┄┄┄（8分） 由①②得12ab a b ≤+，2a b ab ∴+≥ ┄┄┄（10分） 法2：（分析法）0,0a b >>，∴要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥┄┄┄（6分） 222a b +=，∴只需证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤┄┄┄（8分）2a b ab ∴+≥ ┄┄┄（10分）。