2015年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•成都模拟）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5分）（2014•成都模拟）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}3．（5分）（2014•成都模拟）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠54．（5分）（2014•成都模拟）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．35．（5分）（2015•青岛模拟）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8 C．2 D．06．（5分）（2014•成都模拟）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b7．（5分）（2014•成都模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z9．（5分）（2014•成都模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣|1gx|的零点个数是（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）（2015•河南模拟）如图，已知椭圆C l：+y2=1，双曲线C2：=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5 B． C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）（2015•兰州一模）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．12．（5分）（2014•成都模拟）当x＞1时，函数的最小值为．13．（5分）（2014•成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．14．（5分）（2014•成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．15．（5分）（2014•成都模拟）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）（2014•成都模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n ∈N*．（I ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．17．（12分）（2014•成都模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．18．（12分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名36名108名不喜欢电脑游戏32名60名92名（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．19．（12分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．20．（13分）（2014•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且=λ，λ∈R．①证明：λ2m2=4k2+1；②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．21．（14分）（2014•成都模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，试用a表示出b的取值范围；（Ⅲ）当b=﹣a时，若f（x+1）≤g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．2015年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.D．2．.A．3.D．4．B．5．B．6．D7．C．8．A9．D．10．C．二、填空题：11．．12．3．13．28+12．14．．15．．16．（12分）（2014•成都模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，∵a2=3，S7=49，∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）b n===2n，则数列{b n}为等比数列，则数列{b n}的前n项和T n=．17．（12分）（2014•成都模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且•=0，∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．18．（12分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名36名108名不喜欢电脑游戏32名60名92名（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．【分析】（I）根据样本数据统计表，可得200名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可；（Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少．【解答】解：（Ⅰ）42500×答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有7650名．（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15﹣=15﹣6=9（个）所有至少有一名学生认为作业多的概率是．答：至少有一名学生认为作业多的概率是．19．（12分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣VA﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VC⊥BC，∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，∴AC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VAC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，﹣2），，设平面VAC的法向量==（0，2，0），设平面VAM的法向量=（x，y，z），由，取y=，得∴，∴cos＜＞==，∴二面角M﹣VA﹣C的余弦值为．20．（13分）（2014•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且=λ，λ∈R．①证明：λ2m2=4k2+1；②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．【分析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|=，由此能求出△AOB的面积，再利用基本不等式求最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），且x02+y02=4，①∵=（+），∴x0=x，y0=2y，②②代入①可得x2+4y2=4；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=（1）∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，又由中点坐标公式，得G（，），将Q（，）代入椭圆方程，化简，得λ2m2=1+4k2，（2）．②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x1﹣x2|=，（3）结合（2）、（3），得S△AOB=，λ∈（1，+∞），令=t∈（0，+∞），则S=≤≤1（当且仅当t=1即λ=时取等号），∴λ=时，S取得最大值1．21．（14分）（2014•成都模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，试用a表示出b的取值范围；（Ⅲ）当b=﹣a时，若f（x+1）≤g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．【分析】（I）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，可得函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．因此h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．变形为=ax+在[4，+∞）上恒成立⇔2b≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．（III）当b=﹣a时，令G（x）=f（x+1）﹣g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣﹣ax，x∈[0，+∞）．由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，x∈[0，+∞）．对a分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=．∴函数f（x）在上单调递减；在单调递增．∴当x=时，f（x）取得最小值．且==﹣．（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，∴函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．∴h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．∴=ax+在[4，+∞）上恒成立⇔2b≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．（a＞0）．则=．令u′（x）=0，解得．∴u（x）在上单调递减，在上单调递增．（i）当时，即时，u（x）在上单调递减，在上单调递增．∴u（x）min==，∴，即．（ii）当时，即，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，∴，即．综上可得：当时，即．当，．（III）当b=﹣a时，令G（x）=f（x+1）﹣g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣﹣ax，x∈[0，+∞）．由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，x∈[0，+∞）．（i）当A≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴G（x）＞G（0）=0在x∈（0，+∞）成立，与题意矛盾，应舍去．（ii）当a＞0时，令v（x）=G′（x），x∈[0，+∞）．则，，①当A≥1时，v′（x）≤0在x∈[0，+∞）上成立．∴v（x）在x∈[0，+∞）单调递减．∴v（x）≤v（0）=1﹣A≤0，∴G′（x）在x∈[0，+∞）上成立．∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递减．∴G（x）≤G（0）=0在x∈[0，+∞）成立，符合题意．②当0＜a＜1时，=，x∈[0，+∞）．∴v（x）在上单调递增，在单调递减．∵v（0）=1﹣a＞0，∴v（x）＞0在上成立，即G′（x）＞0在上成立，∴G（x）在上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0在成立，与题意矛盾．综上可知：a的最小值为1．。