2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为( ) A .22 B .22- C .32- D .322.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b ( )A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向 3.下列各式中,值为32的是( ) A .002sin15cos15 B .2020cos 15sin 15- C .202sin 151- D .2020sin 15cos 15+ 4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示,则运动员甲得分的中位数,乙得分的平均数分别为( )A .19,13B .13,19 C.19,18 D .18,195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是( ) A .23 B .25 C. 12 D .136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++•+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是( ) A . B . C. D .7.设单位向量1e ,2e 的夹角为60°,则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是( ) A .34 B .53725375378.如果下面程序框图运行的结果1320s =,那么判断框中应填入( )A .10?k <B .10?k > C. 11?k < D .11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是( ) A .18 B .1136 C.14 D .156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称,则ϕ可能取值是( )A .2π B .12π- C.6π D .6π- 11.如图所示,点A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ,若3OC mOA mOB =+,AP AB λ=,则λ=( )A .56 B .45 C.34 D .2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=,sin OB α=,[0,]2πα∈,0OA OB ⋅=,若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈,且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=,则OC 的最大值是( ) A .32 B .34 C.35 D .37第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知tan 4α=,tan()3πβ-=,则tan()αβ+ .14.已知样本7,8,9,x ,y 的平均数是82,则xy = .15.已知ABC ∆的三边长4AC =,3BC =,5AB =,P 为AB 边上的任意一点,则()CP BC BA -的最小值为 .16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位,再向下平移2个单位,得到()g x 的图像,若12()()16g x g x =,且1x ,2[2,2]x ππ∈-,则122x x -的最大值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知向量(1,2)a =,(3,4)b =-. (I )求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 (II )若()a a b λ⊥-,求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:(I )请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式 (II )将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度,得到()y g x =的图像,求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品,在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表:(I )画出散点图;(II )求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程;(III )估计当每天销售的件数为12件时,每周内获得的纯利为多少? 附注:721280ii x==∑,721()27i i x x =-=∑,713076i i i x y ==∑,72134992ii y ==∑,1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑,a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上.(I )若点F 是CD 上靠近C 的四等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ的值; (II )若3AB =,4BC =,当2AE BE =时,求DF 的长.21.某中学举行了数学测试,并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.(I )若该所中学共有3000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数;(II )若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人,试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin 3cos 2f x x x x ωωω=+(0ω>),()y f x =的图象与直线2y =相交,且两相邻交点之间的距离为x .(I )求函数()f x 的解析式; (II )已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数()f x 的值域; (III )求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12:CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16 16.5512π 三、解答题17.解:(1)()4,2a b -=-,设a b -与a 的夹角为θ,所以()()22224425cos (32)4()a a b bb b θ-⋅===-+-⨯+- , (2)()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-,∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=,解得1λ= 18....解:..(1)...根据表中已知数据,解得...........5A =,.2ω=,.6πϕ=-..数据补全如下表:........x ωϕ+0.2ππ32π2πx12π3π 712π56π 1312π()Asin x Bωϕ++2.7.2.-.3.2.且函数表达式为.......f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭..(2)...由.(1)...知.f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭,.因此..g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.. 因为..y sinx =的对称中心为......(,2)k π ,.k Z ∈,令..2x+=k 6ππ,.k Z ∈,解得...x=212k ππ-,.k Z ∈,.即.()y g x =图象的对称中心为........222kx π(-,),.k Z ∈,其中离....y 轴最近的对称中心为.........(,2)12π-..19.解:(1)(2)712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为: 4.940.9y x ∧=+(3)当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时,周内获得的纯利润为99.7元. 20.解:(1)EFEC CF ,因为E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的四等分点,所以1124EF EC CF BC CD =+=+,在矩形ABCD 中,,BC AD CD AB ,所以,1142EF AB AD =-+,即14λ=-,12μ=,则18λμ⋅=-. (2)设DFmDC (0)m ,则(1)CF m DC ,1122AEABBC ABAD , y1234567x506070809089(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD ,又0AB AD ⋅=, 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD 9(1)82m , 解得13m,所以DF 的长为1. 21.解:(1)由直方图可知,样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=,则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=.(2)由分层抽样知识可知,成绩在[)70,80,[)80,90,[]90,100间分别抽取了3人,2人,1人.记成绩在[)70,80的3人为a ,b ,c ,成绩在[)80,90的2人为d ,e ,成绩在[]90,100的1人为f ,则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ,(,,)a b d ,(,,)a b e ,(,,)a b f ,(,,)a c d ,(,,)a c e ,(,,)a c f ,(,,)a d e ,(,,)a d f ,(,,)a e f ,(,,)b c d ,(,,)b c e ,(,,)b c f ,(,,)b d e ,(,,)b d f ,(,,)b e f ,(,,)c d f ,(,,)c e f ,(,,)d e f 共20种,其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ,(,,)b c d ,(,,)c a d ,(,,)a b e ,(,,)b c e (,,)c a e ,(,,)a b f ,(,,)b c f ,(,,)c a f 共9种,所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =. 22.解:(1)()211cos2ωx 31sin 321sin(2)2226f x x sin xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π,则T π=,所以1ω=()π1sin 2x 6f x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭(2)7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2(3)令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈,则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈,所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。