一、双曲线知识点总结:1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, 的轨迹不存在;当时, 的轨迹为以为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 1.注意定义中“陷阱问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 二、双曲线经典题型:1.定义题：P P 21212||F F a PF PF ==-P 21F F 、F l F l e 1>e 12222=-b y a x )0(2222≠=-λλb y a x 12222=-b y a x 22221y x b a-=222a y x ±=-x y ±=2=e 12(5,0),(5,0)F F -P 21,F F x y 23±=A BCPOxy1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线上， 依题意得a=680, c=1020，用y=－x 代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.2. 设P 为双曲线上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．B ．12C ．D ．24解析： ①又②由①、②解得直角三角形故选B 。

3.如图2所示，为双曲线的左 焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．2712222=-by a x 13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为5680±=x 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即m 1068011222=-y x 363122:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由,22||||21==-a PF PF .4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF F 1169:22=-y x C C i P ()3,2,17=-i P i y F P F P F P F P F P F P 654321---++[解析] ，选C4. P 是双曲线左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，5. 若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B.()a m -21C. 22a m -D. a m -()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A .2.求双曲线的标准方程1已知双曲线C 与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c =2.又双曲线过点（3，2），∴－=1. 又∵a 2+b 2=（2）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k =4，所以双曲线方程为－＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；=-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P )0,0(12222>>=-b a by a x 21F PF ∆a -b -c -c b a -+21F PF ∆0x a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||162x 42y 2c b a ,,22a x 22by 5222)23(a 24b5122x 82y k x -162ky +422122x 82y 2xy ±=[解析]设双曲线方程为， 当时，化为，， 当时，化为，， 综上，双曲线方程为或 3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为4.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A ．B ．C ．（x > 0）D ． [解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B3.与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线的渐近线方程是 ( ) λ=-224y x 0>λ1422=-λλy x 2010452=∴=∴λλ0<λ1422=---λλy y 2010452-=∴=-∴λλ221205x y -=120522=-x y x y 382=F 03=±y x x y 382=F )0,32(λ=-223y x 9)32(342=∴=∴λλ13922=-y x (3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N )0,0(12222>>=-b a by a x 2352c b a ,,a b 2=5122222=+==ab ac e 5=e c b a ,,22149x y -=A.B. C. D.[解析]选C3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 4.过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b-=中，令222200x y x y a b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.4.几何1.设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．12 C. D ．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,a b c ===.12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=于是2221212126, 4.52PF PF PF PF F F ==+==，故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.∴121211641222PF F S PF PF ∆=⋅=⨯⨯=.选B. 5.求弦1.双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）23y x =±49y x =±32y x =±94y x =±1222=-y x 1241222=-y x 1241222=-x y 1122422=-x y 1122422=-y xA. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩. ∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x x k x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2.在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由()()222221221224302221y x x x x x y x ⎧-=⎪⇒--=⇒-+=⎨⎪=-⎩这里16240∆=-，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.。