第十五章 稳恒磁场
一、选择题答案： 1-10 DABAB CCBBD 11-20DCABB BBDAB 二、填空题答案 1. 0 2. 3
a x = 3.
BIR
2 4. 2104.2-⨯ 5. 0 6. I 02μ 7. 2:1 8. απcos 2B R 9.不变
10. < 11.
R
I 20μ 12. qB mv 13. 2：1 14. = 15 k
13108.0-⨯ 16 4109-⨯ 17无源有旋
18. 1.4A 19. 2 20. I a 2 B/2
三、计算题
1. 如右图，在一平面上，有一载流导线通有恒定电流I ，电流从左边无穷远流来，流过半径为R 的半圆后，又沿切线方向流向无穷远，求半圆圆心O 处的磁感应强度的大小和方向。

解：如右图，将电流分为ab 、bc 、cd 三段，其中，a 、d 均在无穷远。

各段在O 点产生的磁感应强度分别为：
ab 段：B 1=0 （1分） bc 段：大小：R
I B 402μ=
（2分）
方向：垂直纸面向里 （1分） cd 段：大小：R
I B πμ403=
（2分）
方向：垂直纸面向里 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度
)
1(40321+=
++=ππμR
I B B B B （2分）
方向：垂直纸面向里 （1分）
2. 一载有电流I 的长导线弯折成如图所示的形状，CD 为1/4 圆弧，半径为R ，圆心O 在AC 、EF 的延长线上。

求O 点处的磁感应强度。

解：各段电流在O 点产生的磁感应强度分别为：
AC 段：B 1=0 （1分） CD 段：大小：R
I B 802μ=
（2分）
方向：垂直纸面向外 （1分） DE 段：大小：R
I R
I B πμπμ2)135cos 45(cos 224003=
-⋅
=
（2分）
方向：垂直纸面向外 （1分） EF 段：B 4=0 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度
R
I R
I B B B B B πμμ28004321+
=
+++= （1分）
方向：垂直纸面向外 （1分）
3. 如右图所示，一匝边长为a 的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。

当二者之间的最近距离为b 时，求线圈所受合力F
的大小？
解：无限长载流直导线在空间的磁场r
I πμ210 （2分）
AD 段所受的安培力大小b
a I I πμ2210 （2分）
方向水平向左。

BC 段所受的安培力大小)
(2210b a a I I +πμ （2分）
方向水平向右。

AB 段和CD 段所受的安培力大小相等方向相反。

（2分） 线圈所受的合力)
(22
210b a b a
I I +πμ （2分）
方向水平向左。

4. 一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，如图所示，圆弧形半径为cm R 3=，导线中的电流为A I 2=。

求圆弧形中心O 点的磁感应强度。

（m H /10470-⨯=πμ）
I
1
2
解：两根半无限长直电流在O 点的磁感应强度方向同为垂直图面向外，大小相等，以垂直图面向里为正向，叠加后得 R
I R
I B πμπμ242001-
=⋅
-= （3分）
圆弧形导线在O 点产生的磁感应强度方向垂直图面向里，大小为 R
I R I B 834
32002μμ=
= （3分）
二者叠加后得
T
R
I R
I B B B 5
001210
81.1283-⨯=-
=
+=πμμ （3分）
方向垂直图面向里。

（1分）
5. 两根直导线与铜环上B A ,两点连接，如图所示，并在很远处与电源相连接。

若圆环的粗细均匀，半径为r ，直导线中电流I 。

求圆环中心处的磁感应强度。

解：电流在A 点分为两支路为1I 和2I ，设R 为单位弧长电阻，AdB 弧长与AcB 并联，得 21I l R I l R A c B A d B =
即 21I l I l A c B A d B = （1分） 以垂直图面向里为正向，所以 r
l I B A d
B
o A d B ππμ221-
= （2分）
AcB
支路在圆环中心O 点磁感应强度方向垂直图面向里，大小为
r
l I l
l I B A d
B
A c
B A c B ππμππ
μ22221020=
=
（2分）
两支路在O 点的磁感应强度叠加，得0=+AcB AdB B B （2分）
半无限长直电流EA 延长线过圆心O ，0=EA B ，O 点的磁感应强度等于半无限长直电流
BF
在O 点磁感应强度，得
r
I r
I B B BF πμπμ4)180cos 90(cos 400=
-=
=
（2分）
方向垂直图面向里。

（1分）
6. 如图所示，一根外径为R 2，内径为R 1的无限长载流圆柱壳，其中电流I 沿轴向流过，并均匀分布在横截面上。

试求导体中任意一点)(21R r R <<的磁感强度。

解：在导体内作一半径为r
(21r R <<r B r d B L
π2
⋅=
⋅⎰
（3分）
)
()()
()(2
12
22
122
12
22
12int R R R r I
R R R r I
I --=--=ππ （3分）
由安培环路定理int 0I r d B L
μ=⋅⎰
，得 （2分）
)
()
(22
12
22
120R R R r r I B --=
πμ （2分）
7. 电流为I 的长直截流导线，附近有一与导线共面的单匝矩形线圈，其一边与导线平行，求通过此平面的磁通量。

解：选择x 轴垂直于导线指向右边。

x
I x B πμ2)(0=
，故通过x 处阴影面积dS 的磁通量为
dx
x
Ia adx x B d m πμ2)(0=
=Φ 则通过此平面的磁通量为
d
b d Ia dx x
Ia b
d d
m +=
=
Φ⎰
+ln
2200π
μπμ
I
a
I
8. 如图，一载流线半径为R ，载流为I ，置于均匀磁场B
中，求： （1）线圈受到的安培力；
（2）线圈受到的磁力矩（对Y 轴）
解：（1）取电流元l Id
如图，其受力大小
α
αααcos BIRd d BIRSin BIdlSin dF -=== 3分 方向：垂直向外 1分
积分可得整个圆电流的受力
⎰⎰=-==
π
α20
0cos BIRd
dF F
2分
（2）由磁力矩的定义B S I B p M m
⨯=⨯=，得其大小 2
B
R I ISBSin
M 2
2
ππ== 2分
方向：沿Y 轴负向 1分
9. 如图，矩形线圈与长直导线共面，已知I 1=20A ，I 2=10A ，a=1.0cm ，b=9.0cm ，h=20cm 。

求：电流I 1产生的磁场作用在线圈上的合力。

解：由对称性，AD 、BC 受力大小相等、方向相反，二力抵消。

对AB 段F 1方向垂直AB 向左，大小为：
⎰
⎰=
=
=
AB
h a
I I dl I a
I dl B I F πμπμ222
1021
0121 4分
对CD 段： 同理，有
h b a I I F )
(22102+=
πμ 3分
合力为
N
h b
a a
I I F F F 4
2102110
2.7)11(2-⨯=+-
=
-=π
μ合 3分
10. 半径为R=0.1m 的半圆形闭合线圈，载有电流I=10A ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。

已知B=0.5T ，求
（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；
（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩作功为多少？
解：（1）由线圈磁矩公式B p M m
⨯= （2分）
得
)
(0785.05
.01.02
1102
1sin 2
2
m N B
R I B p M m ⋅=⨯⨯⨯⨯
=⨯⨯
==ππθ （4分）
方向沿直径向上。

（2）力矩的功为
)
(0785.05.01.02
1102
12
2
J B
R I I A =⨯⨯⨯⨯
=⨯⨯=∆Φ=ππ （4分）。