为列标，表明该元素位于第j列。
相等的行数和列数
1
2
32
12002
2
1】当λ为何值时，行列式23
D λλ
=
1222a a 12122
12222
b b a a b b ，1112212
a D a a
b D D
12
22
a a ；列标只能取1，2或2，1。
所以二阶行列式中有两项
容易看出，
1
2
n n
n n nn
a a a 阶行列式。
它是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积
1
2
n n n n nn
a a a a a a a =
级排列求和。
行列式D 通常注：(1)行列式是一种特定的算式，最终的结果是一个数；，不要与绝对值的概念相混淆；
1
2
n n nn
a a a =的值也成立同样的结论：
111210
n nn
a a a 1,11(1)2,12
11
0(1)
n n n n n n n a a a a a ---=-）对角行列式：
00
n
λ=00
0n
λ
级排列。
由于每交换两个元素对应的行标列标都
因此为了确定每一项的符号，同样可以1
2
n n n n nn
a a a =
表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因此凡是有关行的性质，对列也同12121
2
n k k kn l l ln n n nn
a a a a a a a a a ，122121
2
n l l ln k k kn n n nn
a a a D a a a a a a =
(1)l
k
n lj kj nj -∑
1
1(k
l
n j kj lj nj a a a =∑
行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零。
12121
2
1
2
i i in i i in n n nn
n n nn
ka ka ka k a a a a a a a a a = .
1221212
1
2
1
2
12
n n n n n n n mm
n n nn
n n nn
a a c
b
c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ （强调：只拆一行，其余行不变）。
)c a
行列式中某行（或列）的元素k倍地加到另一行对应元素上，此行列式的值
【解】将第一、二行互换，第三、五行互换，得
将第一、五列互换，得
【例5】计算行列式
201
141
183
【例6】计算行列式
3
3
5
1
1
1
2
4
3
1
5
2
1
1
3
-
-
-
-
-
-
=
D
【解】
3112
5134
2011
1533
D
-
--
=
-
--
12
1312
1534
0211
5133
c c
-
--
↔-
-
--
21
41
1312
0846
50211
01627
r r
r r
-
---
-
+-
-
23
1312
0211
0846
01627
r r
-
-
↔
--
-
32
42
1312
40211
00810
8
001015
r r
r r
-
+-
-
-
-
43
1312
0211
40
1000810
820
000
8
r r
-
-
=
-
+
当今大部分用于计算一般行列式的计算机都是按上述方法设计的. 可以证明，利用行变 换计算行列式需要进行大约32/3n 次算数运算. 任何一台现代微型计算机都可以在几分之一 秒内计算出50阶行列式的值，运算量大约为83 300次.
【例7】计算D=
3111
131111311113
【解】 方法一
原式= 14211113
111
313110202
1131113131113111
r r r r -↔-
--
3141
1
11302020
02
230228r r r r ---
-----
42
11
13
020200
2200210r r --
+---43
1113020248002
2
00012
r r --=+--
方法二：
原式=1234
16666
1111131113116
6113111311113
1113
r r r r r +++÷⨯
1
1111
0200
6480020
2,3,40002
i r r i -⨯==
【例8】 证明
【证明】把2,3列同时加到第４列上去，则得
【例9】 计算行列式
1
122330000001
1
1
1
a a a a D a a --=
-
【解】 根据行列式的特点，可将第一列加至第二列，然后将第二列加至第三列，再将第三列加至第四列，目的是使D 中的零元素增多.
1122330000001
1
1
1
a a a a D a a --=
-===1
22330
000
00
012
1
1
a a a a a -- ===1
233000
0000
01
2
3
1
a a a a -===1
212330000
0040
001
2
3
4
a a a a a a =
三、复习思考
1．x
a a a x a a
a x D n
=
答案1
[(1)]()
n x n a x a -+--
2．2n a b
a
b
a b D b a
b a b
a
=
21c c + 32c c +
43c c +
11
n i ij in n nj
nn
a a a a a a
j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1,11,11,11,1,11,11,11,1
,1
,1
i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn
a a a a a a a a a a ----+-++-+++-+
cofactor ）。
而
1
2
n
n n nn
a a a
1
0n ij n nj
nn
a a a a ,2,1行交换后换到第一行，再把D 11,1,11,,1
(1)(i j
i j i n nj
n j nn
a a a a a ------=-⋅-
21
2
000
00i in n n nn
a a a a a +
+++
++
++ 1211112111121
21
2
1
2
1
2
000000n n n i i in n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++ 1122i i i i in in a A a A a A ++
+
1
2121
2
n i i in
i i in
n n nn
a a a a a a a a a
行的对应元素相同，可知10D =。
而1D 与D 仅第i
行
j 行
1
1112
n n n n n
x x x -
--=
表示全体同类因子的乘积。
即n 阶范德蒙德行列式等于
⎪⎨
+x a 121
法则，
为何值时，方程组有非零解。