第三章 部分习题解答3-10 AB ,AC 和DE 三杆连接如图所示。

杆DE 上有一插销H 套在杆AC 的导槽内。

试求在水平杆DE 的一端有一铅垂力F 作用时，杆AB 所受的力。

设DE BC HE DH DB AD ===,,，杆重不计。

解：假设杆AB ，DE 长为2a 。

取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：∑=0C M02=⋅a F By0=By F取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0HM0=⋅-⋅a F a F DyF F Dy =∑=0B M 02=⋅-⋅a F a F DxF F Dx 2=取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0y F0=++By Dy Ay F F FF F Ay -=(与假设方向相反)∑=0A M02=⋅+⋅a F a F Bx DxF F Bx -=(与假设方向相反) ∑=0B M02=⋅-⋅-a F a F Dx AxF F Ax -=(与假设方向相反)3-12AD AC AB ,,和BC 四杆连接如图所示。

在水平杆AB 上作用有铅垂向下的力F 。

接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F 的位置如何，杆AC 总是受到大小等于F 的压力。

解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M0=⋅-⋅x F b F DF bx F D =F CF C yF DF CxF CyF BxF ByF DxF DyF HyF BxF ByF DyF DxF Ax F Ay取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0A M0=⋅-⋅x F b F BF bx F B =杆AB 为二力杆，假设其受压。

取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0E M02)2(2)(=⋅--⋅+⋅+bF x b F b F F AC D B解得F F AC =，命题得证。

注意：销钉A 和C 联接三个物体。

3-14两块相同的长方板由铰链C 彼此相连接，且由铰链A 及B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M 的力偶。

如b a >，忽略板重，试求铰链支座A 及B 的约束力。

解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：∑=0A M0)(=+-M M F M B A即B F 必过A 点，同理可得A F 必过B 点。

也就是A F 和B F 是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。

取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M045cos 45sin 00=-⋅-⋅M b F a F A A解得：ba MF A -=2(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁BC AB ,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。

试求A 处的约束力及杆1，2，3所受的力。

解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。

选梁BC 为研究对象，受力如图所示。

其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。

列平衡方程：F ABxF AByF BF Ex F EyF ACF BF AF BF CxF Cy F BxF By F 3∑=0B M0245sin 03=-⋅-⋅M a qa a F )2(23qa aMF +=(受压) 选支撑杆销钉D 为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：∑=0x F045cos 031=-F Fqa aMF 21+=(受压) ∑=0y F045sin 032=--F F)2(2qa aMF +-=(受拉)选梁AB 和BC 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0x F 045cos 03=+F F Ax)2(qa aMF Ax +-=(与假设方向相反) ∑=0y F0445sin 032=--++qa P F F F Ayqa P F Ay 4+=∑=0A M0345sin 242032=-⋅+⋅-⋅-⋅+M a F a qa a P a F M AM Pa qa M A -+=242(逆时针)3-21二层三铰拱由DG BC AB ,,和EG 四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。

试求支座B A ,的约束力。

解：选整体为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：∑=0A M 022=⋅-⋅a F a F By F F By =∑=0B M 022=⋅-⋅-a F a F Ay F F Ay -=∑=0x F0=++F F F Bx Ax(1)由题可知杆DG 为二力杆，选GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点G ，受力如图所示，画出力的F AxF AyF BxF ByDF 3F 2F 1xyF Ax F Ay F 3 F 2M A三角形，由几何关系可得：F F E 22=。

取CEB 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0C M045sin 0=⋅-⋅+⋅a F a F a F E By Bx2F F Bx -= 代入公式(1)可得：2F F Ax -=3-24均质杆AB 可绕水平轴A 转动，并搁在半径为r 的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC 拉在销钉A 上，杆重16N ，r AC r AB 2,3==。

试求绳的拉力和杆AB 对销钉A 的作用力。

解：取杆AB 为研究对象，设杆重为P ，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0A M060cos 23301=⋅-⋅rP r N )(93.61N N = ∑=0x F 060sin 01=-N F Ax)(6N F Ax =∑=0y F060cos 01=-+P N F Ay)(5.12N F Ay =取圆柱C 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0x F030cos 30cos 001=-T N)(93.6N T =注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A 处的约束力不是杆AB 对销钉的作用力。

3-27均质杆AB 和BC 完全相同，A 和B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。

设静摩擦因数353.0=s f 。

试求平衡时θ角的范围。

F EF G F EF G F F EF BxF ByF CxF CyP F AxF AyN 1 N 2 N 1T解：取整体为研究对象，设杆长为L ，重为P ，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0A M 0cos 22sin 2=⋅-⋅θθLP L F N θtan 2P F N =(1)取杆BC 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0B M0cos cos 2sin =⋅-⋅+⋅θθθL F LP L F s NP F S =(2)补充方程：N s s F f F ⋅≤，将(1)式和(2)式代入有：2tan s f ≤θ，即010≤θ。

3-29不计重量的杆AB 搁在一圆柱上，一端A 用铰链固定，一端B 作用一与杆相垂直的力F ，如图所示。

试：（1） 不计圆柱重量，求证各接触面的摩擦角大于2α时，不论F 多大，圆柱不会被挤出，而处于自锁状态。

（2） 设圆柱重为P ，则圆柱自锁条件为：ααcos 1sin +≥SC f)cos 1)((sin αα++≥Pa Fl Fl f SD证明：（1）不计圆柱重量法1： 取圆柱为研究对象，圆柱在C 点和D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力2α F RD F RC 2αF NDF SDo F Ax F Ay F AxF AyF NF sPPF BxF ByF NF sPRD RC F F ,来表示，如图所示。

如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则RD RC F F ,等值，反向，共线。

由几何关系可知，RD RC F F ,与接触点C ，D 处法线方向的夹角都是2α，因此只要接触面的摩擦角大于2α，不论F 多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。

法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0A M 0=⋅-⋅l F a F NDF al F ND =再取杆AB 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：∑=0A M0=⋅-⋅l F a F NCND NC F F alF ==取圆柱为研究对象，受力如图所示。

假设圆柱半径为R ，列平衡方程：∑=0O M 0=⋅-⋅R F R F SD SC SD SC F F =∑=0x F0cos sin =--SD SC NC F F F ααND NC SD SC F F F F ααααcos 1sin cos 1sin +=+==由补充方程：ND SD SD NC SC SC F f F F f F ⋅≤⋅≤,，可得如果：2tan ,2tan cos 1sin αααα≥=+≥SD SC f fF NC F SC F NC F SC F NDF SD则不论F 多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：（2）圆柱重量P 时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P ，C 点和D 点处的全约束力RD RC F F ,。

如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D 点（如图所示）。

全约束力RC F 与C 点处法线方向的夹角仍为2α，因此如果圆柱自锁在C 点必须满足： 2tan cos 1sin ααα=+≥SC f(1)该结果与不计圆柱重量时相同。

只满足(1)式时C 点无相对滑动，但在D 点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。

再选杆AB 为研究对象，对A 点取矩可得F a lF NC =，由几何关系可得： F alF SC ⋅=2tanα2cosα⋅=a FlF RC (2)法1（几何法）：圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。

由几何关系可知：ϕαϕsin )]2180(180sin[00RC F P=--- 将(2)式代入可得：)cos 1)((sin tan ααϕ++=Fl Pa Fl因此如果圆柱自锁在D 点必须满足：)cos 1)((sin tan ααϕ++=≥Fl Pa Fl f SD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

法2（解析法）：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Pφ2α F RD F RC Pφ F RDF RC 2αF NC F SC∑=0x F0cos sin =--SD SC NC F F F αα∑=0y F0cos sin =---ααNC SC ND F F P F解得：F alF F SD SC ⋅==2tanα， )2tan sin (cos ααα⋅++=a Fl P F ND代入补充方程：ND SD SD F f F ⋅≤，可得如果圆柱自锁在D 点必须满足：)cos 1)((sin tan ααϕ++=≥Fl Pa Fl f SD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。