第二节 对数频率特性
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一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
w L(w )
2 20 log
A(w )
20 log
K
w
40
K 10
20log K 20log w,
20
w 当K 1时，w 1, L(w) 0;
20 40
j (w)
1 10 100 K 1 w
当w 10时，L(w) 20 可见斜率为－20/dec 当K 1时，w 1, L(w) 20log K;
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
对数幅频特性和对数相频特性
图。上图是不同阻尼系数情况
下的对数幅频特性实际曲线与
渐近线之间的误差曲线。
5 T
10 T
当0.3<<0.8，误差约为±4.5dB
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振荡环节的波德图
相频特性：j
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比例环节的bode图
二、典型环节的波德图 ⒈ 比例环节： G(s) K ;
G( jw) K
幅频特性：A(w) K；相频特性：j(w) 0
L(w) / dB
20log K 20log K
20log K
K 1
K 1 log w
K 1
对数幅频特性：
0
L(w ) 20 lg K 常数 0
8
0.2
0.3
4
0.5
0
0.7
0
1.0
0.3 0.4 0.5 0.6
0.7
-10
j (w )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
0.8 1.0
1
1
2
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
(w
)
tg
1
1
2wT T 2w
2
几个特征点：w 0,j(w) 0;w 1 ,j(w) ;w ,j(w) 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( w0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当w (0, 1 ) 时，j(w) (0,90) ,当 w ( 1 , )
T
T
时，j(w) (90,180) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器
G(
jw )
1
(1 T 2w 2 )
j2w T
幅频特性为：
A(w)
1
(1 T 2w2 )2 (2wT )2
相频特性为：
j
(w
)
tg
1
1
2wT T 2w
2
对数幅频特性为：L(w) 20log A(w) 20log (1T 2w2)2 (2wT )2
低频段渐近线： Tw 1时，L(w) 0
j(w)
m1 i1
tg 1 iw
m2 k 1
tg
1
2 kTkw 1 w 2Tk2
v 90
n1
tg 1Tkw
k 1
n2
tg 1
2 lTlw
l 1
1 w 2Tl2
57.3 Tdw
所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近 似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
wT
0.1 0.2 0.5 1 2 5
10 最大误差发生在
L(w ),dB
-0.04 -0.2
-1
-3
-7
-14.2
-20.04
w
wo
1 T
处，为
渐近线,dB 0 0 0 0 -6 -14 -20
误差,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2 -0.04 max 20 log 1 T 2w02
0
相频特性：
K 1 K 1 K 1
j (w)
180
K 0 log w
j (w )
K
0 180
K 0 K 0
180
K 0
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积分环节的Bode图
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( jw)
K
j
K
K
j
e2
jw w w
A(w ) K w
L(w) / dB
j (w) tg1( K 0)
高频段渐近线： Tw 1时，L(w) 20log (T 2w2)2 40logTw
两渐近线的交点 wo
1 T
称为转折频率。w>w0后斜率为-40dB/Dec。
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振荡环节的波德图
G(
jw )
s2
10 0.6s
1
K 10,T 1, 0.3
40dB / Dec
wo
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函
数分别为： G(s) s G(s) 1 Ts
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( jw) jw G( jw) 1 jTw G( jw) 1 T 2w 2 j2wT
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当Tw 1时，L(w) 20log K ，称为低频渐近线。
高频段：当Tw 1时，L(w) 20log K 20logTw ，称为高频渐近
线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示w 每增加10倍频程 下降20分贝）。
当w 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当w 时，趋近于高频渐近线。
(1
2
k
k
s
2 k
s
2
)e
Td
s
G(s)
i 1
k 1
n1
n2
s (1 Tj s) (1 2 lTl s Tl2 s 2 )
j 1
l 1
m1
m2
K (1 j iw) [(1 w 2Tk2 ) j2 kTkw]e jTdw
G( jw ) i1
k 1
n1
n2
( jw) (1 jTjw) [(1 w 2Tl2 ) j2 lTlw]
2
5
10
20
20T 10T 5T
2T
T
T
T
T
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
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惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当w wo 时，误差为：1 20log 1T 2w 2
当w wo 时，误差为：2 20log 1T 2w2 20logTw
幅值A(w ) 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100 1000 10000
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA(w )
幅值A(w ) 1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001
j 1
l 1
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5
m1
L(w) 20 lg G( jw ) 20 lg K 20 lg 1 j iw i 1
m2
n1
20lg (1 w 2Tk2 ) j2 kTkw 20 v lg jw 20lg 1 jTjw
k 1
j 1
n2
20 lg (1 w 2Tl2 ) j2 lTlw l 1
0
3(dB)
-1
-2
-3
-4
1
1
10T
5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
T
T
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惯性环节的波德图
②相频特性：j(w) tg1Tw
作图时先用计算器计算几个特殊点：
wT 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 j(w ) -0.6 -1.1 -2.9 -5.7 -11.3 -16.7 wT 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 j(w ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3
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纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w) 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA(w) 值标注在纵坐标上。
相频特性j (w)曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分
度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横
坐标（频率轴）。
当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益=20log (幅值)