2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-;;()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式|思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6~三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习~(一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;3.5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩; 2.791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4.231462x y x y +=⎧⎨+=⎩无穷多解. )二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.【解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 【11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值； （2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理(0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开]例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)—(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开[111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2 a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22]§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值. 解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 】例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x x x x x x x x x x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y x y x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+^2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式; (2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式,ABC 的面积公式有何变化解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 《()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法/一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,…将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □\感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,…所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。