洛阳市 2017-2018 学年高中三年级第三次统一考试 数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 A  {x  Z || x | 2} ， B  { y | y  1  x2} ，则 A A．4 B． 8 C． 16 D．32B 的子集个数为（ ）2.已知复数 z  A．第四象限5i （ i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 z 对应的点在（ ） 3  4iB．第三象限 C．第二象限 D．第一象限m n 3.“ lg m  lg n ”是“ ( )  ( ) ”的（ ）1 21 2A．充要条件 C．充分不必要条件 4.设随机变量 XB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件N (1,1) ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若 XN ( ,  2 ) ，则 P(    X     )  0.6826 ， P(  2  X    2 )  0.9544 .A． 6038B． 6587C. 7028D． 75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的 容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（ ）19 25 升 D． 升 9 12   6.将函数 f ( x)  cos(2 x  ) 的图像向平移 个单位，得到函数 g ( x) 的图像，则下列说法不正确 的是（ ） ．．． 4 8A． B． C. A． g ( )  C. x 13 升 317 升 661 2B． g ( x) 在区间 ( D． ( 2是 g ( x) 图像的一条对称轴85 7 , ) 上是增函数 8 8, 0) 是 g ( x) 图像的一个对称中心7.设双曲线x2 y 2   2  1(a  0, b  0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 作倾斜角为 的直线与 y 轴和双曲 2 3 a b1 (OB  OF1 ) ，则该双曲线的离心率为（ ） 2D． 3线的右支分别交于点 A 、 B ，若 OA  A．2 B． 5C. 2  38.在 △ABC 中，点 P 满足 BP  2 PC ，过点 P 的直线与 AB ， AC 所在直线分别交于点 M ， N ，若AM  mAB ， AN  nAC(m  0, n  0) ，则 m  2n 的最小值为（ ）A．3 B．4 C.8 3D．10 3 a1 a  2  2018 2018  a2017 的值为（ ） 201820179.若 (1  2018x)2017  a0  a1 x  a2 x2  A． 20182017 B．1 C. 0a2017 x2017 ( x  R) ，则D． 110.在三棱锥 P  ABC 中， PA  平面 ABC ， BAC  点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 A． 45 B． 57 C. 63 ，则三棱锥 P  ABC 的外接球的表面积为（ ） 3D． 842 ， AP  3 ， AB  2 3 ， Q 是边 BC 上的一动 311.记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1  1 ， (Sn1  Sn )an  2n (n  N  ) ，则 S2018  （ ） A． 3(21009  1) 12.已知函数 f ( x)  （ ） B． ( , 2) B．3 1009 (2  1) 2C. 3(22018  1)D．3 2018 (2  1) 2x2 与 g ( x)  2e ln x  mx 的图像有 4 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 2 x  2e ln xA． (4, 0)1 2C. (0, )1 2D． (0, 2)第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出 i 的值为 ．x  y 1  0 y  | 的最大值为 14.设 x ， y 满足约束条件  x  2 y  0 ，则 z | x3 x  3y  3  0 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．．4 16.已知椭圆的焦点为 F1 (c,0) ， F2 (c,0) ，其中 c  2 3  0 cos xdx ，直线 l 与椭圆相切于第一象限的点 P ，且与 x ， y 轴分别交于点 A ， B ，设 O 为坐标原点，当 △AOB 的面积最小时， F 1 PF2  60 ，则此椭圆的 方程为 ．三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 且 b sin B  (c  b)sin C  a sin A . （1）求角 A 的大小； （2）若 sin B sin C 3 ，且 △ABC 的面积为 2 3 ，求 a . 818. 如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将 △ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 内的摄影恰好落在 边 AB 上.（1）求证：平面 ACD  平面 BCD ； （2）当AB  2 时，求二面角 D  AC  B 的余弦值. AD19. 某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题目 中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是 m ， n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和 X 的期望. 20. 已知抛物线 C : y   x2 ，点 A ， B 在抛物线上，且横坐标分别为  之间（不包括点 A ，点 B ） ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q . （1）求直线 AP 斜率 k 的取值范围； （2）求 | PA | PQ | 的最大值.x 21. 已知函数 f ( x)  ( x  1)e 2 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作 31 3 ， ，抛物线 C 上的点 P 在 A ， B 2 2t 2 x ，其中 t  R . 2（1）讨论函数 f ( x ) 的单调性； （2）当 t  3 时，证明：不等式 f ( x1  xt )  f ( x1  x2 )  2x2 恒成立（其中 x1  R ， x1  0 ）. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为  sin(  坐标系，曲线 C1 的参数方程为 4)  2 2 ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角 x  1  2cos  （  为参数）.  y  2  2sin （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的普通方程； （2）若曲线 C2 为曲线 C1 关于直线 l 的对称曲线，点 A ， B 分别为曲线 C1 、曲线 C2 上的动点，点 P 坐标为(2, 2) ，求 | AP |  | BP | 的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x)  3| x  a |  | 3x  1| ， g( x) | 4 x  1|  | x  2 | . （1）求不等式 g ( x)  6 的解集； （2）若存在 x1 ， x2  R ，使得 f ( x1 ) 和 g ( x2 ) 互为相反数，求 a 的取值范围.试卷答案 一、选择题 1-5:CACBB 二、填空题 13. 4 14. 1 6-10: DCADB 11、12：AC1  15. 12 3x2 y 2  1 16. 15 9三、解答题 17.（1）由 b sin B  (c  b)sin C  a sin A ，由正弦定理得 b2  (c  b)c  a2 ，即 b2  c 2  bc  a 2 ，所以b2  c2  a2 1   cos A  ，∴ A  . 3 2bc 2（2）由正弦定理a b c a sin B a sin C   ，可得 b  ，c  ， simA sin B sin C sin A sin A所以 S△ABC a 2 sin B sin C 1 1 a sin B a sin C bc sin A    sin A  2 3. 2 2 sin A sin A 2sin A3 3 3 2 ， sin A  ，∴ a  2 3 ，解得 a  4 . 8 2 8又 sin B sin C 18.（1）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E ，连接 DE ，则 DE  平面 ABC ，∴ DE  BC . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB  BC ，∴ BC  平面 ABD ，∴ BC  AD .又 AD  CD ，所以 AD  平 面 BCD ，而 AD  平面 ACD ，∴平面 ACD  平面 BCD . （2）以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 所示.设 AD  a ，则 AB  2a ，∴ A(0, 2a, 0) ， C (a,0,0) . 由（1）知 AD  BD ，又AB  2 ，∴ DBA  30 ， DAB  60 ， AD 1 3 3 a ， BE  AB  AE  a ， DE  AD  sin DAB  a， 2 2 2∴ AE  AD  cos DAB ∴ D(0,3 3 1 3 a, a) ，∴ AD  (0,  a, a) ， AC  (a, 2a,0) . 2 2 2 2设平面 ACD 的一个法向量为 m  ( x, y, z) ， 1 3  m  AD  0 az  0  ay  则 ，即  2 ， 2 m  AC  0  ax  2ay  0  不妨取 z  1 ，则 y  3 ， x  2 3 ，∴ m  (2 3, 3,1) . 而平面 ABC 的一个法向量为 n  (0,0,1) ， ∴ cos m, n 1 1 1 m n  .故二面角 D  AC  B 的余弦值为 .  4 | m || n | (2 3)2  ( 3) 2  12 419.（1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答 对 3 题乙答对 0 题.故所求的概率1 2 2 1 3 C4 C2 2 2 2 1 C4 C2 1 1 2 2 C4 31 0 1 3 . P  3  C3 ( ) ( )  3  C3 ( ) ( )  3  C3 ( )  C6 3 3 C6 3 3 C6 3 135（2） m 的所有取值有 1，2，3.P(m  1) 1 2 2 1 3 1 3 1 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 1 ， ，  P ( m  2)   P ( m  3)   ，故 E (m)  1  2   3   2 . 3 3 3 5 5 5 C6 5 C6 5 C6 52 2 B(3, ) ，故 E (n)  3   2 .而 X  15m  10n ，所以 E ( X )  15E(m) 10 E( n)  50 . 3 3 1 1 3 9 1 3 2 20.（1）由题可知 A( ,  ) ， B ( ,  ) ，设 P( x p ,  x p ) ，   x p  ，所以 2 4 2 4 2 2 1 xp2  4   x  1  (1,1) ，故直线 AP 斜率 k 的取值范围是 (1,1) . k p 1 2 xp  2 1 1 9 3 （2）直线 AP : y  kx  k  ，直线 BQ : x  ky  k   0 ，联立直线 AP ， BQ 方程可知点 Q 的横坐 2 4 4 2由题意可知 n 标为 xQ 2 3  4k  k 2 1 (k  1)2 (1  k ) 2 3  4k  k 2  1  k (  k  ) ，  ( x  x ) | PQ |  1  k Q p 2k 2  2 2k 2  2 2 1 k 21 | PA | 1  k 2 ( x p  )  1  k 2 (1  k ) ，所以 | PA |  | PQ | (1  k )3 (1  k ) ，令 f ( x)  (1  x)3 (1  x) ， 2 1 1 1  x  1 ，则 f '( x)  (1  x)2 (2  4 x)  2(1  x)2 (2 x  1) ，当 1  x   时 f '( x)  0 ，当   x  1 2 2 1 1 时 f '( x)  0 ，故 f ( x ) 在 ( 1,  ) 上单调递增，在 (  ,1) 上单调递减. 2 2 1 27 27 故 f ( x) max  f (  )  ，即 | PA |  | PQ | 的最大值为 . 2 16 1621.（1）由于 f '( x)  xe  tx  x(e  t ) .x xx 1）当 t  0 时， e  t  0 ，当 x  0 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增，当 x  0 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递减； 2）当 t  0 时，由 f '( x)  0 得 x  0 或 x  ln t .① 当 0  t  1 时， ln t  0 ，当 x  0 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增， 当 ln t  x  0 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递减， 当 x  ln t 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增； ② 当 t  1 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增； ③当 t  1 时， ln t  0 . 当 x  ln t 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增， 当 0  x  ln t 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递减， 当 x  0 时， f '( x)  0 ， f ( x ) 递增. 综上，当 t  0 时， f ( x ) 在 ( , 0) 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数； 当 0  t  1 时， f ( x ) 在 (, ln t ) ， (0, ) 上是增函数，在 (ln t , 0) 上是减函数； 当 t  1 时， f ( x ) 在 (, ) 上是增函数； 当 t  1 时， f ( x ) 在 ( , 0) ， (ln t , ) 上是增函数，在 (0, ln t ) 上是减函数. （2） 依题意 f ( x1  x2 )  f ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) ，  f ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  f ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) 恒成立. 设 g ( x)  f ( x)  x ，则上式等价于 g ( x1  x2 )  g ( x1  x2 ) ， 要证明 g ( x1  x2 )  g ( x1  x2 ) 对任意 x1  R ， x2  (0, ) 恒成立，x 即证明 g ( x)  ( x  1)e 3 2 x  x 在 R 上单调递增，又 g '( x)  xe x  3x  1 ， 2x 只需证明 xe  3x  1  0 即可.令 h( x)  e x  x  1 ，则 h '( x)  ex 1 ，当 x  0 时， h '( x)  0 ，当 x  0 时， h '( x)  0 ，x x 2 ∴ h( x)min  h(0)  0 ，即 x  R ， e  x  1 ，那么，当 x  0 时， xe  x  x ，所以1 xe x  3x  1  x2  2x  1  ( x 1)2  0 ；当 x  0 时， e x  1 ， xe x  3x  1  x (e x  3  )  0 ， xx ∴ xe  3x  1  0 恒成立.从而原不等式成立.22.解： （1）∵  sin( 4)  2 2 ，∴2 2  sin    cos   2 2 ， 2 2即  cos   sin   4 ，∴直线 l 的直角坐标方程为 x  y  4  0 ； ∵ x  1  2cos  ，∴曲线 C1 的普通方程为 ( x  1)2  ( y  2)2  4 .  y  2  2sin （2）∵点 P 在直线 x  y  4 上，根据对称性， | AP | 的最小值与 | BP | 的最小值相等. 曲线 C1 是以 (1, 2) 为圆心，半径 r  2 的圆. ∴ | AP |min | PC1 | r (2  1) 2  (2  2) 2  2  3 .所以 | AP |  | BP | 的最小值为 2  3  6 . 3x  3, x  2  1  23.解： （1）∵ g ( x)  5 x  1, 2  x  ， 4  1  3x  3, x    4当 x  2 时， 3x  3  6 解得 x  1 ，此时无解.1 7 7 1 时， 5 x  1  6 ，解得 x   ，即   x  . 4 5 5 4 1 1 7 当  x 时， 3x  3  6 ，解得 x  3 ，即  x  3 ，综上， g ( x)  6 的解集为 {x |   x  3} . 4 4 5当 2  x  （2）因为存在 x1 ， x2  R ，使得 f ( x1 )   g ( x2 ) 成立.所以{ y | y  f ( x), x  R} { y | y   g ( x), x  R}   .又 f ( x)  3| x  a |  | 3x  1| | (3x  3a)  (3x  1) || 3a  1| ， 由（1）可知 g ( x)  [  , ) ，则  g ( x )  ( , ] .9 49 49 13 5 a . ，解得  4 12 12 13 5 故 a 的取值范围为 [  , ] . 12 12所以 | 3a  1|。