f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
或
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
c0 d0 a0
其中
cn
dn
a2 b2
n
n
n
arctg
bn an
,
n
arctg
an bn
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
2.从系统分析角度:已知单频正弦信号激励下的响应， 利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励 下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还 是增强一目了然。
傅里叶分析法是信号分析和系统设计的不 可缺少的重要工具
3.2 周期信号的傅立叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数
1、三角函数形式的傅里叶级数
nw1
w 称为包络线。
n
0 w1 3w1
nw1
周期信号频谱图的特点： 离散性、谐波性、收敛性
w
二、指数形式的傅里叶级数
由三角形式的傅里叶级数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
利用欧拉公式：
cos
n1t
1 2
e jn1t
e jn1t
sin
n1t
傅立叶的两个最主要的贡献：
“周期信号都可表示为成谐波关系的正 弦信号的加权和”——傅里叶的第一 个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
意义：
1.从信号分析的角度:将信号表示为不同频率正弦分 量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。
n1
从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基
频f1的整数倍,通常把正弦或余弦分量定义为基波分量和 谐波分量。
基波：频率为
f1
1 T1
1 2
的分量
二次谐波：频率为 2 f1 / 21 的分量
三次谐波：频率为 3 f1 / 31 的分量
f (t) c0 cn cos(n1t n ) n1
显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
本章重点
1.利用傅里叶级数的定义式分析周期信号 的离散谱； 2.利用傅里叶积分分析非周期信号的连续 谱； 3.理解信号的时域与频域间的关系； 4.用傅里叶变换的性质进行正逆变换； 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理。
3.1 引言
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示” 1822年首次发表“热 的分析理论”中 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 拉格朗日反对发表
幅度谱与相位谱合并
nw1
w
Fn
c0
1
2
c1 1
2 c2
nw1
nw1
w
w1 0 w1
nw1
w
Fn
c0
1 2
c1 1
2 c2
周期信号频谱图的特点： 离散性、谐波性、收敛性
信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位 都是nω1的函数，可以利用图形的方法将它们描 述，就是信号的幅频图和相频图。
5、周期信号的频谱图：幅度谱和相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c1 c2
c0
c3
n ~ n1 信号的相位谱
各频率分量的幅度称为谱 线，连接谱线顶点的曲线
0 w1 3w1
1 2j
e e jn1t
jn1t
可以得到指数形式的傅里叶级数：
e f (t)
F (n1) jn1t
n
1、指数形式的傅里叶级数
e f (t)
F (n1) jn1t
n
e 复函数：F(n1) 记 Fn
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅度：bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备的正交函数
t0 T1
t0
cosn1t.sin m1t.dt
0
t0 T1 t0
T1
sin
n1t
sin
m1tdt
2 0
t0 T1 t0
T1
cos
n1t
cos
m1tdt
2 0
(m n) (m n)
(m n) (m n)
有关正交函数集及正交函数分解的概念，参见 教材第六章：329页6.3 信号的正交函数分解
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
jbn )
其中 Fn
1 2
a2 n
b2 n
1 2 cn
n n (三角函数形式）
3、指数形式表示的信号频谱--复数频谱
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
n ~ n1 复函数相位谱
Fn
nw1
c0
1
2
c1 1
2 c2
w1 0 w1
n
nw1
0
2、傅里叶级数各系数之间的关系
e f (t)
F (n1) jn1t
n
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
e 当n 0时，Fn Fn
jn 1 2
an jbn
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
n
sin( n
T1
)
2E
T1
Sa( n
T1
)
2E
T1
Sa( n1
2
)f (tΒιβλιοθήκη ET12E
T1
n1
Sa
(
n1
2
)
cos(n1t
)
4、展开式的物理含义
任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角函
数级数的形式，即可以展开为直流分量和正弦或余弦分
量的叠加：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号
f1(t)
E
[u(t
)
2
u(t
)]
2
a0
E
T1
an
2E