正（侧）视图 第6题图天津市静海县第一中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知直线2+60x my -=在两个坐标轴上的截距之和为5，则实数m 的值为（A ）2（B ）3（C ）4 （D ）5（2）已知点(31)，A ，(15)，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（A ）240x y -+= （B ）210x y --= （C ）+280x y -=（D ）2+70x y -=（3）已知(22)(0)(0)，，，，，A B a C b (0)ab ≠三点共线，则11a b+= （A ）12（B ）2 （C ）14（D ）4（4）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为120°，则圆锥的表面积为（A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π （5）已知三棱柱111ABC A B C -中，⊥1AA底面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，则该三棱柱的表面积是（A ）15 （B ）30 （C ）60 （D ）72（6）一个四棱锥正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形，其腰长为1，则该四棱锥的体积为 （A（B ）13 （C（D ）16（7）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =2，AB=BC =1，则其外接球的表面积为（A ）6π （B ）5π（C ）4π （D ）3π（8）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，60B =o ，4a =，b =则60C = （A ）30o（B ）90o（C ）30o或90o（D ）150o（9）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22()3c a b =+-，60C =，则AB C ∆的面积是（A（B（C（D（10）αβ，是两个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，有下列四个命题：①如果m n m α⊥⊥，，∥n β，那么αβ⊥； ②如果m m αβ⊥⊥，，那么αβ∥； ③如果∥αβ，,m αβα⊂，那么m β∥；④如果α内有不共线的三个点到β⊥的距离相等，那么αβ∥.其中正确命题的序号为 （A ）②③（B ）①④ （C ）①②③ （D ）①②④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. （11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为274，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________. （12）已知直线40ax y +-=与3+(+)202x a y +=平行，则实数a =________. （13）如图，在山底测得山顶仰角45CAB ∠=o，沿倾斜角为30o的斜坡走300米至D 点，又测得山顶仰角为75o， 则山高BC =________米.（14）正四面体A-BCD 中，E 为BC 中点，F 为AD 中点，则AE 与CF 所成角的余弦值为________. （15）已知动直线l 1: x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2: mx －y －2m ＋1＝0过定点B ，直线l 1与l 2交于点P ，则|PA |2+|PB |2=_______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2,54cos ==b B . （I ）若π4A =，求a 的值； （II ）若ABC ∆的面积为3，求证ABC ∆为等腰三角形.A BC D E第13题图DP BCEF A第17题图（17）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，12PA AB BC AD ===，E ，F 分别为AB ，PC 的中点. （I ）若四棱锥P-ABCD 的体积为4，求PA 的长； （II ）求证：PE ⊥BC ；（III ）求PC 与平面PAD 所成角的正切值.（18）（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点()3,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，B ∠的角平分线BN 所在直线方程为20x y -=．（I ）求顶点B 的坐标； （II ）求直线BC 的方程．（19）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C cos b cC C a++=．（I ）求A 的大小；（II ）若ABC ∆为锐角三角形，且a =b c +的取值范围．（20）（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11A ACC 为菱形，且1=60A AC ∠，平面11A ACC ⊥平面ABC ，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点.（I ）求证：CM ∥平面1A BN ；（II ）求证：1AC BN ⊥； （III ）求BA 1与平面11A ACC 所成角的大小．C 1NC B 1MBA 1A 第20题图参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.BAADD CABDA二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.（11）π4 （12）12 （13）300 （14）23（15）2三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）解：（I ）因为53sin ,54cos =∴=B B ，所以53sin ,54cos =∴=B B . ……………………2分 由正弦定理得2πsin sin 4a B =2352=. ……………………… 4分解得a =…………………………6分 （II ）由题意得，53sin ,sin 21==B B ac S =3，即10,3103==∴ac ac ，所以10,3103==∴ac ac . ………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ………………9分得4=16582222-+=-+c a ac c a ,即2022=+c a . ………………10分 那么222()20a c a c ac -=+-=，由此得a c =所以ABC ∆为等腰三角形. …………………12分 （17）（本小题满分12分）解：（I ）设PA =a ，由题意知2,4222313=∴==⨯⨯+⨯=-a a a a a a V ABCDP解得=2a ，所以PA=2 ………………2分 （II ）因为PA ⊥平面AB CD ，BC ⊂平面ABCD所以PA BC ⊥ …………………………………………………4分 又∠ABC =90° 所以AB BC ⊥因为PA ⊂平面PAB , AB ⊂平面PAB , PAAB A =DPBEFAG所以BC ⊥平面PAB …………………………6分 又PE ⊂平面PAB所以PE ⊥BC …………………………7分 （III ）取AD 的中点G ，连结CG ，PG因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，又AD AB ⊥，则AB ⊥平面PAD ， ……………………8分 由题意知BC ∥AG ，BC =AG ，所以四边形ABCG 为平行四边形 所以CG ∥AB ，那么CG ⊥平面PAD所以CPG ∠为PC 与平面PAD 所成角 ……………………10分设PA =a ，则CG =a ，PG ，在直角三角形CPG 中，tanCPG2==所以PC 与平面PAD ……………………12分 （18）（本小题满分12分）解：（I ）设顶点B 的坐标为)，(n m ；因为顶点B 在直线BN 上，所以20m n -= ………………………2分 由题意知M 的坐标为31(,)22m n ++， 因为中点M 在直线CM 上，所以3121022m n ++⨯--=， 即2+30m n -=； ……………………………4分 联立方程组202+30m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得顶点B 的坐标为()2,1--………………6分（II ）设顶点关于直线BN 的对称点为(,)A s t '，由于线段A A '的中点在在直线BN 上，得方程312022s t ++-⨯=， 即210s t -+= ………………………………………7分 由直线A A '与直线BN 垂直，得方程11123t s -⨯=--，即2+70s t -=； …………………………8分联立方程组2102+70s t s t -+=⎧⎨-=⎩，得139,55A '（） …………………………………10分 显然139,55A '（）在直线BC 上，且顶点B 的坐标为()2,1--， 得直线BC 的方程为142350x y -+= ……………………………………12分（19）（本小题满分12分）解：（I cos b cC C a++=，sin sin cos sin B CC C A++=，即sin sin cos sin()sin A C A C A C C +=++， ………………………2分sin sin cos sin A C C A C =+,因为sin 0C ≠，cos 1A A -=，π2sin16A -=（），即π1sin 62A -=（）， ………4分 因为ππ5π666A -∈-（，），所以ππ=66A -，解得π=3A ……………………6分（Ⅱ）由（I ）知π=3A ，又a =2sin sin sin b c aB C A=== 2π2sin +2sin =2sin 2sin 3b c B C B B +=+-（）13sin cos )2B B B B =+=+ π)6B =+( ……………………………………………………9分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π02B <<,且π02C <<，即π02B <<且2ππ032B <-< 由此得ππ62B <<，ππ2π363B <+<； …………………………………10分πsin )16B <+≤(，π3)6B <+≤(所以3b c <+≤………………………………12分 （20）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取1A B 的中点P ，连接PM ，PN . 因为M ，P 分别是AB ,1A B 的中点， 所以PM ∥1AA ,11=2PM AA CN = ………2分 又因为1AA ∥1CC所以PM ∥CN 且=PM CN 所以四边形PMCN 为平行四边形，所以PN ∥CM ． ………………………………………………………………4分又因为CM ⊄平面1A BN ，PN ⊂平面1A BN ，所以CM ∥平面1A BN ． ………………………………………………………5分 （Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，ON .由题意知BO ⊥AC ，又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以BO ⊥平面11A ACC ． …………………………………………7分 因为1AC ⊂平面11A ACC 所以1BO AC ⊥ 因为四边形11A ACC 为菱形，所以11AC AC ⊥ 又因为ON ∥1AC , 所以1AC ON ⊥ 所以1AC ⊥平面BON ，又BN ⊂平面BON 所以1AC BN ⊥． ……………………………………………10分 （III ）连结A 1O ，由（Ⅱ）知BO ⊥平面11A ACC所以1BAO ∠为BA 1与平面11A ACC 所成的角 ………………………11分 在直角三角形1BAO 中，1BO AO = 所以1π=4BA O ∠，即BA 1与平面11A ACC 所成的角为π4.……………………12分。