2021届天津市静海县第一中学高三12月月考数学（文）试题考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（102分）和第Ⅱ卷提高题（48分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。

2. 试卷书写要求规范工整，卷面整洁清楚，如不符合要求，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共102分）一、选择题: 每小题5分，共30分.1. 设全集U =R ，集合{}(){}210,20A x x B x x x =-<=-≥，则UA B =（ ）． A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}02x x << D.{}02x x <≤2. 设变量,x y 满足约束条件10,210,1,x y x y x -+⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最大值为（ ）．A. 2B. 1-C. 3-D. 33. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]0 1，上的增函数是“()f x 为[]3 4，上的减函数”的（ ）．A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的K 和S 的值分别为（ ）．A ．49,9B ．511,11C ．613,13D ．715,155. 已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则3a 的值为（ ）． A. 16 B. 16- C. 12 D. 12-6. 已知,a b 为单位向量，且2+=a b a b ，则a 在+a b 上的投影为（ ）．B 1俯视图侧视图正视图1111212A.13B.二、填空题：每小题5分，共20分.7．设i 为虚数单位，若()74,2ia bi ab i+=+∈-R ，则a b += ． 8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．9.设公比为() 0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22443232S a S a =+=+，，则q =____________． 10. 已知函数()()3,f x ax bx a b =+∈R在x =处取得极值，则()2f = ．三、 解答题（本大题共4题，共52分）11. 已知函数()()2πsin 22cos 16f x x x x ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭．R（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）讨论()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性．12. 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木料30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？13. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,1,BCAD AB CD ==12AA AD BC ===,E F 为1,BC A B 的中点． (Ⅰ)证明：EF平面11A ACC ；(Ⅱ)证明：CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求二面角11B A D A --的正切值．14.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且232,n n S a n n *=-∈N . (Ⅰ)求证：数列{}1n a +是等比数列； (Ⅱ)设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .第Ⅱ卷 提高题（共48分）一、选择题: (每小题5分，共10分)15．已知P 是ABC △内的一点（不含边界），且23,30AB AC BAC ⋅=∠=︒，若,,PAB PBC PCA △△△的面积分别是 ,,x y z ，记()149,,F x y z x y z=++,则(),,F x y z 的最小值为（ ）． A. 26 B. 32 C. 36 D. 4816. 设定义域为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0b <且0c >B ．0b >且0c <C ．0b <且0c =D ．0b ≥且0c = 二、填空题：(每小题5分，共10分)17．如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒，AC =，CD =BD = ．A18.()()()22211,2,441ln 1,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对a ∀∈R ，存在b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围为__________．三、解答题：(本大题共2小题，共28分)19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆C 上，且对角线,AC BD 均过坐标原点O ，若14AC BD k k ⋅=-（i ）求OA OB ⋅的范围；（ii ）求四边形ABCD 的面积．20. 已知函数()()ln f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()y f x =的图象在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()1ag x f x x +=+，求函数()y g x =的单调区间； （Ⅲ）设函数()1ah x x+=-，若[]01,e x ∃∈，使得()()00f x h x ≤成立，求实数a 的取值范围．2021届天津市静海县第一中学高三12月月考数学（文）试题第Ⅰ卷 基础题（共102分）一、选择题（每题5分，共30分）二、填空题（每题5分，共20分）7. 5 8. 3 9.3210. 10 三、 解答题（本大题共4题，共52分）11. （Ⅰ）()2π1sin 22cos 12cos 2cos 262f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 2ππ2T ==，令()ππ2π62x k k +=+∈Z ，解得()ππ62kx k =+∈Z 所以，函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为()ππ62kx k =+∈Z （Ⅱ）令π26t x =+，则函数sin y t =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤， 得ππππ36k x k -++≤≤()k ∈Z 设ππππ,,ππ,4436A B x k x k k ⎡⎤⎧⎫=-=-++∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭≤≤Z ，易知ππ,46AB ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ，所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

12. （Ⅰ）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元．则⎩⎨⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎨⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，z ＝80x ＋120y ，可行域如图．由图可知：当直线y ＝－23x ＋z 120经过可行域上的点M 时，截距z120最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为(100,400)．∴z max ＝80x ＋120y ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13. （Ⅰ）连结1AC,E F 为1,A B BC 中点1EFAC ∴11111EF A ACC AC A ACC ⊄⊂面，面 11FE A ACC ∴面（Ⅱ）取AD 中点为G ，联结BG ，1,1,BG CD AB AG ====BG AB ∴⊥又BGCD CD AB ∴⊥，又1A A CD ⊥∴ CD ⊥平面11A ABB（Ⅲ）过C 作AD 的垂线，垂足为H ，过H 作11A D 的垂线，垂足为Q ，连结CQ ，可知CQH ∠即为所求。

1tan 4CQH ∠=14.（Ⅰ）1n =时，11232S a =-，解得12a =2n ≥时，232n n S a n =-()112321n n S a n --=-- 两式相减并整理得，132n n a a -=+ ，所以，1131n n a a -+=+所以，{}1n a +是等比数列，首项113a +=，公比3q = （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，31n n a =-，故3n n b n n =⋅-()()()()231312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()()23323333123n n n =+⨯+⨯++⨯-++++设23323333n n R n =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减可得1321344n n n R +-=+⨯ 所以，()112133442n n n n n T ++-=⨯+-第Ⅱ卷 提高题（共48分）一、选择题（本大题共2题，共10分）二、填空题（本大题共2题，共10分）3. 34. []1,5- 三、解答题（本大题共2题，共28分）5．（Ⅰ）由222e a b c ==+，可得2,a b c == ①由已知得，24ab = ② ，由①和②解得，2,1a b ==所以椭圆22:14x C y +=（Ⅱ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，32OA OB ⋅=； （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222418440k x kmx m +++-= ()()()()2222284414416410km k m k m ∆=-+-=-+>12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩14OA OB AC BD k k k k ⋅=⋅=- 121214y y x x ∴=-且120x x ≠ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++22222224481444141441m km m k km m k k k ---=++=-⋅+++ 整理上式，可得22241m k =+1212122332331,424122OA OB x x y y x x k ⎛⎫⎡⎫⋅=+==-∈- ⎪⎪⎢+⎝⎭⎣⎭又120x x ≠，故0OA OB ⋅≠ 综上， 33,00,22OA OB ⎡⎫⎛⎤⋅∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦（Ⅲ）由椭圆的对称性可知，4AOB ABCD S S =△四边形设原点到直线AB 的距离为d ，则12AOBS AB d =⋅=-△1== 所以，44AOB ABCD S S ==△四边形6．函数定义域为()()0,,'1af x x+∞=-（Ⅰ）当2a =时，()()()2ln 11,1,1f x x x f =-∴=切点为,()()()2'1,'1111,20f x k f y x x y x=-==-∴-=--+-=切线方程为：即：（Ⅱ）()()11ln a ag x f x x a x x x++=+=-+ ()()()()22221111'1x x a x ax a a a g x x x x x+⎡-+⎤--++⎣⎦∴=--== ①当1a ≤-时，()()10,'0a g x g x +≤≥∴的单调递增区间为()0,+∞ ②当1a >-时，令()'0,10g x x a ==+>解得∴ ()g x 的单调递减区间为()0,1a +，()1,a ++∞单调递增区间为（Ⅲ）[]01,e x ∃∈，使得()()00f x h x ≤成立[]01,e x ∴∃∈，使得()()000f x h x -≤成立，[]01,e x ∃∈即，使得()()0min 0,0g x g x ≤∴≤① 当11,0a a +≤≤即时，由（Ⅱ）可知：函数()[]1,g x e 在上单调递增()()min 1202g x g a a ∴==+≤∴≤-② 当11e,0e 1a a <+<<<-即时()()()()()()()min min 11ln 112ln 111e 0ln 110ln 12,g x g a a a a a a a a a a a a g x =+=+-++=+-+<+<∴<+<∴<+<∴>舍去③ 当1e,e 1a a +≥≥-即时，由（Ⅱ）可知函数()[]1,g x e 在上单调递减()()222min1e 1e 1e 1e e 0e 1e e 1e 1e 1a g x g a a a ++++∴==-+≤∴≥>-∴≥---综上所述， a 的取值范围是2e 12e 1a a a ⎧⎫+≤-≥⎨⎬-⎩⎭或．。