“睿达杯”初中数学能力竞赛模拟卷(五)一、选择题（5×10=50分）1、已知1a b c k b c c a a b===-+++，则k 的值等于（ ） A 、12 B 、2 C 、12或2 D 、不确定 2、二次函数2(1)4y x =--的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图像其余部分不变得到一个新的图像，若使y=m 对于得到的新图像成立的x 的值恰好有三个，则m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、如图ʘ1O 与ʘ2O 内切于点B,两圆的半径分别是R 和r,AB 为ʘ1O 的直径，ʘ1O 的弦AC 切ʘ2O 于点D,已知AD=4CD,则r:R 等于（ ）A 、1:4B 、3:7C 、2:5D 、4:94、将满足“至少出现一个数字0且是4的倍数”的正整数从小到大排列成一排数：20,40,60,80,100,104，……，则在这列数中的第158个数为：（ ）A 、2000B 、2004C 、2008D 、2012 5、a,b,c 为ABC ∆三边的长，若（a+b+c ）· (a+b-c)=ab,则ABC ∆的三内角中最大的角的度数为（ ）A 、150︒B 、120°C 、90°D 、60° 6、已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 最大值为（ ）A 、4B 、-4C 、8D 、-8 7、已知不等式20x mx n ++<的解集是-2<x<3,则m+n 的值为（ ） A 、-5 B 、-6 C 、-7 D 、-8 8、二次函数22453y x ax a a =-+-的最小值m 是一个与a 有关的数，若a 满足204210,a a ≤--≤则m 的最大值为（ ）A 、12B 、14C 、16D 、189、在ABC ∆中，C ∠=90°，AB=10，AC,BC 的长是关于x 的方程2-360x mx m ++=的两个根，则BCAB =（ ）A 、35B 、45C 、35或45 D 、不能确定10、直线11(0)2ky x y x x=--=与反比例函数p 的图像交于点A,与x 轴相交于点C,过点C 作x轴垂线交双曲线于点B,若AB=AC,则k 的值等于（ ）A 、3B 、-3C 、4D 、-4二、填空题（5×8=40分）11、在ABC ∆中，已知2,22B A BC AB A ∠=∠==+∠，= .12、如图，抛物线 223y x x =-++与x 正半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，线段OA,抛物线AB 段、线段BO 围成区域G （包含边界） ，点（x,y ） 在区域G 上运动，那么y-x 的最大值为 。

13、在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒,BC=6，ʘO 恰经过点B 、C,且OA=1，则 ʘO 的半径为 。

14、如图，在◇ABCD 中，AD=2，AB=4，30A ∠=︒ , 以点A 为圆心，AD 的长为半径画圆，交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 （结果保留π）15、如图 ，将边长为2的菱形纸片ABCD 沿线段EF 折叠，使点A,D 分别落在'',A D 处，若在线段''''',a,A D D F BC G A B D G ==上，经过的中点若则 （用含a 的代数式表示）。

三、解答题（3×20=60分）16、已知ab ≠1,且22578764315070,778764315050,.a a a b b b++=++=求17、已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根m,n 证明：如果2,2,m n << 那么24,4a b b <+<且。

468453607 答案18、如图，点P 是线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），12l l 、分别是线段AP 、BP 的垂直平分线，在直线12l l 、上分别取点C 、D （C 、D 在线段AB 所在直线的同侧），且满足BC=CD=AB,连结AC 、PC 、BD 、PD 。

（1）求证：ABC ∆~ACP ∆（2）当点P 运动到某一时刻，若CD ⊥CB,求出CPD ∠的度数。

（3）若点P 在AB 上运动，CPD ∠的度数是否发生变化，若不变，请说明理由。

若变化，请直接写出它的变化规律。

“睿达杯”初中生数学能力竞赛模拟卷(四)九年级 第二试 考试时间120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．如图，数轴上的四个点A 、B 、C 、D 分别代表整数a 、b 、c 、d ．若－a －b＝－2，c －b ＝－2，则d 的值是( )A ．－3B ．0C ．1D ．42．已知a 是实数，关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝7ax ＋2y ＝1－2a 的解不可能出现的情况是( )A ．x 、y 都是正数B ．x 、y 都是负数C ．x 是正数、y 是负数D ．x 是负数、y 是正数3．如图，点A 在正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是( )A ．3B ．2＋2C ．10D ．44．某市测得一周PM 2.5的日均值(单位：)如下：50，40，80，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是( )第3题图AB1 12第1题图c bd aA ．50和50B ．50和40C ．40和50D ．40和40 5．方程|xy |－2|x |＋|y |＝3的整数解有( )组．A ．2B ．4C ．6D ．86．平面直角坐标系中，若平移二次函数y ＝(x －2010)(x －2011)＋4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为( ) A ．向左平移4个单位 B ．向右平移4个单位 C ．向上平移4个单位 D ．向下平移4个单位7．若a 2＋2b 2＋5c 2＝4bc －2ab ＋2c －1，则a －2b ＋3c 的值是( )A ．－3B ．0C ．1D ．28．如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满足：⑴点D 到直线l的距离为1，⑵A 、C 两点到直线l 的距离相等，则符合题意的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知：如图①，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC＝90°＋12∠A ＝12×180°＋12∠A ，如图②，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于Q 1、Q 2，则∠BO 1C ＝23×180°＋13∠A 、∠BO 2C第8题图ABCD＝13×180°＋23∠A ．根据以上阅读理解，你能猜想(n 等分时，内部有n －1个点)(用n 的代数式表示)∠BO n －1C ＝( )A ．2n ×180°＋1n ∠AB ．1n ×180°＋2n ∠AC ．n n －1×180°＋1n －1∠A D ．1n ×180°＋n －1n ∠A10．若函数y ＝12(x 2－100x ＋196＋|x 2－100x ＋196|)，则当自变量x 取1，2，3，…，99这99个正整数时，函数值的和是( ) A ．540 B ．390 C ．194 D ．97二、填空题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)11．象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，计分的方法是胜一盘得2分，和一盘得1分，负一盘得0分．已知其中两名棋手共得16分，其他人的平均得分为偶数，求参加这次比赛的选手共有_________人． 12．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ．且点C 是⌒AB 的中点，若扇形的半径为32，则圈中阴影部分的面积等于________．第9题图BACOA BCO 1O 2A BCO 1O 2O n- …图①图② 图③13．以半圆中的一条弦BC (非直径)为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若AD DB ＝23，且AB ＝10，则CB 的长为__________．14．使得n 4－3n 2＋9是质数的整数n 共有_________．15．给定两组数，A 组为：1，2，…，100;B 组为：12，22，…，1002．对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x ＋y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”，则A 组中这样的“关联数”有_______个． 三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分)16．一个棱长为6厘米的立方体，把它切开成49个小立方体，小立方体的大小不必都相同，而小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，求切出的立方体棱长为2厘米的应有多少个？17．如图．正△ABC 边长为10，内接两个正方形DEFG 、GHMN (F 、G 、N 在BC上，D 在GH 上，E 在AB 上，M 在AC 上)，求当两个正方形的边长分别为多少时，两个正方形面积和最小，并求出这个最小值．第13题图第12题图18．对于函数f(x)，若存在实数x，使f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．⑴若a＝1，b＝－2求f(x)的不动点；⑵若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．“睿达杯”初中生数学能力竞赛试题卷九年级第一试考试时间90分钟满分120分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项，多选、错选、不选均不得分）1.方程x2|x|-5x|x|+2x=0的实数根的个数为（)A.2B.3C.4D.52.抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则点（a+b，ac）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若a、b为整数，且方程x2+ax+b=0a+b的值为（）第17题图H MG N CFBE DA.-1B.0C.1D.24.如右图，△ABC 内接于O e ，若BC =4，AC =1，∠A -∠B =90o ，则O e 的面积为（ ）A.154π B.174π C.194π D.5π5.若1||1a a-=，则1||a a+的值为（）A.B.C.6.若m+L [2m ]=(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)()A.88B.86C.44D.437.若实数a 、b 、c 满足c +b =3a 2-4a +6，c -b =a 2-4a +4，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c <≤B.b a c <≤C.b c a <≤D.c a b <≤8.将一条绳子分成长为a ，b 两段，用长为a 和b 的绳子分别围成一个正三角形和一个正六边形，若其面积相等，则ab=（） A.1B.D.29.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =52，BC =4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 与点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为（） A.2B.53C.32D.4310.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，菱形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在边DA 、AB 、CD 上，若DE =5，则△CGH 面积的最小值为（ ）C EDCBAA.3B.9-C.8-D.2.5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11.若a，ab =1，则a 2+b 2= .12.如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于E ，若1AF FD n =，则AEAB= .13.如图，反比例函数ky x=(x >0)的图象与矩形OABC 的边BC 、AB 交于点M 、N ，若CM ：MB =1：n ，则MONOABCS S =V 矩形 .14.如图1，AB 为O e 直径，C 为O e 上一点，且∠ABC =24o ，如图2，»BC沿BC 折叠后与AB H GFEDCBAFE DCA交于点D ，边结CD .如图3，»BD沿BD 折叠后与BC 交于点E ，边结DE .则∠BDE = .15.在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )的坐标满足：5x 5-≤≤，3x 3-≤≤，则动点P 位于|x |+|y |=4围成区域内的概率为 .16.设n 是小于100的正整数，且满足211(1)35n n -+为整数，则符合条件的所有正整数的和为 .三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）17.定义：若两个函数的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“镜子”函数. （1）函数y =3x -4的“镜子”函数是 ；（直接写出答案） （2）函数 的镜子函数是y =x 2-2x -3；（直接写出答案）（3）函数2y x=(x >0)的图象与其“镜子”的图象与一条直线分别交于A 、B 、C 三点，若CB ：AB =1：2，且点C 横坐标为12-，求点B 的坐标.18.如图，正△ABC 边长为10，内接两个正方形DEFG 、GHMN （F 、G 、N 在BC 上，D 在GH 上，E 在AB 上，M 在AC 上），求当两个正方形的边长分别为多少时，两个正方形的面积和最图3图2图1BAABBA小，并求出这个最小值.19.对于函数f (x )，若存在实数x ，使f （x )=x 成立，则称x 为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b -1)(a ≠0）（1）若a =1，b =-2，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.20定义：若矩形ABCD 能够以某种方式分割成n 个小矩形，且每个小矩形都与原矩形相似（即长与宽的比值相等），此时我们称矩形ABCD 可以自相似n 分割. （1）若矩形ABCD 的宽AD 为1，长AB 为x ，且可以自相似2分割，画出示意图，并求x 的值；（2）若矩形ABCD 的宽AD 为1，长AB 为x ，且可以自相似3分割，画出所有满足题意的示意图，并求对应的x 的值.HMN G F EDCB A21.阅读下面的资料，再完成（1）、（2）、（3）小题.如图1，若四个点A 、B 、C 、D 都在O e 上，则∠BAC =∠BDC ，∠BAD +∠BCD =180o .事实上，如图2，利用反证法不难证明，若∠BAC =∠BDC 或∠BAD +∠BCD =180o ，则A 、B 、C 、D 一定在同一个圆上（简称A 、B 、C 、D 四点共圆），请利用后者完成下面相关题目.如图3，在锐角△ABC 中，AB =AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，过△ABC 的外心O 作OG ⊥CD 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交CD 于点F . （1）求证：C 、E 、O 、F 四点共圆； （2）求证：A 、O 、F 三点共线； （3）求证：EA =EF .图1图2图3CBAC。