( x + 21y ) + ( y + 21x )
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高中数学教与学
2013 年
“公共弦 ” 由相交两圆 引发的思考
范 菁 刘建伟
（ 山西省汾阳市汾阳第五高级中学， 032200 ）
学习圆与圆的位置关系时， 在人教版教 材 129 页例 3 中， 判断两圆的位置关系采用两 种方法， 其中第一种方法是用代数法判断 ． 在 这种方法中联立方程组时先用两圆方程相减 得到一个二元一次方程， 方程表示一条直线， 因为直线过两圆的交点， 所以这条直线是两 圆公共弦所在的直线 ． 代数法从解方程的角 度说明方程组有两组解， 即两圆有两个公共 点， 直线是过这两个公共点的直线 ． 一、 提出问题 对于不是同心圆的两圆： ⊙ C1 ： （ x － a ） ⊙ C2 ： （ x － m） ① － ②， 得 2 （ m － a ） x + 2 （ n － b ） y + a 2 － m2 + b 2 － n2 － r2 + Ｒ2 = 0 ． ③ 如果两圆相交， 则方程 ③ 是 ⊙ C1 与 ⊙ C2 公共弦所在的直线方程； 如果两交点重合即 两圆相切， 则方程 ③ 是过 ⊙ C1 与 ⊙ C2 公切点
例4
（ 2005 年重庆高考题） 若 x， y 是正
2 2 2 数） ， 则 a + b + c ≥ M （ ab + 2 bc） ． 从而关于
数，则 x + （ ） （ A） 3 解
(
)
2
+
( y + 21x )
（ C） 7 2
2
的最小值是
a 的方程 a2 － Mba － 2 Mbc + b2 + c2 = 0 有实
2 x2 － 3 x + 2 2 x2 － 3 x + 2 = = ≥ M． （ 2 + x） （ 2 － x） 4 － x2 则关于 x 的方程 2 x － 3 x + 2 = （ 4 － x ） M ， 即 （ M + 2 ） x2 － 3 x + 2 － 4 M = 0 有实根 ． 由 Δ ≥ 0， 得 M≥ 故 1 7 ， 或 M ≤ － （ 舍去） ． 4 4
设所求最小值为 M ， 且 M ＞ 0．
2 2 2
例3
将 y = 1 － x 代入， 得 y x x （ 1 － x） + = + x +2 y +1 x +2 2 －x
2 且 xy ≠ 0 ， 则 x +
(
1 y2 1 y2
) ( 4y
2
+
1 的最小值为 x2 1 ≥ M（ M 为 x2
)
． 解
2 设 x +
2 2 2
2 2 2 2 得关于 x y 的一元二次方程 4 （ x y ）
M ） x2 y2 + 1 = 0 有实根， 于是 Δ = （ 5 － M ） 16 ≥ 0 ， 解得 M ≤ 1 （ 舍去） ， 或 M ≥ 9．
2 故（ x +
－
例2 最小值为 解
1 1 ） （ 4 y2 + 2 ） 的最小值为 9 ． y2 x 1 2y
% G y
8 6 4
F
C2
5
+ （ y － b） + （ y － n）
2 2
= r ， = Ｒ2 ，
2
① ②
≠ n． 解
图1
b） ， 设直线 l 上任一点 G （ a ， 则 b = 7 － 4a ． 3
因为 GE 与 GF 分别是 ⊙ C1 与 ⊙C2 的切 C2 F ⊥ GF ， 可得 线， 所以 C1 E ⊥ GE ， | GE | 2 = | C1 G | 2 － | C1 E | 2
第6 期
高中数学教与学
巧用待定系数法求解一类多元函数的最值
陈永明
（ 陕西省佛坪县中学， 723400 ）
多元代数式求最值问题， 方法多， 技巧性 特别强， 学生不易掌握 ． 待定系数法是中学数 最重要的方法之一 ． 这一方法运 学中最基本 、 用在求代数式的最值问题时非常有效， 对与 二次函数有关的一些多元函数最值问题， 以 要求的最值为待定系数， 可巧妙求得问题的 解． 本文举例说明 ． 例1 设 x，y 是正数， 且 x + y = 1， 则 ． x2 y2 + 的最小值是 x +2 y +1 解
2 2 2 2 2 根， 得 Δ1 = M b － 4 （ b + c － 2 Mbc］ = （ M
－ 4 ） b + 8 Mcb － 4 c ≥ 0 ． 这个关于 b 的二次不等式解集不空， 那么 （ 1 ） 当 M2 － 4 ≥ 0 ， 即 M ≥ 2 时不等式成
2
2
（ B） 4
2
（ D）
2
9 2
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
= （ 2 xy + 1 ） 4 y2
2
+
（ 2 xy + 1 ） 4 x2
2 2
的公切线方程； 如果两圆相离， 则方程 ③ 表示 的直线又该如何解释？ 二、 实例分析 例1 1）
2
如图 1 ， 已知 ⊙ C1 ： （ x + 3 ）
2
2
+（y+
= 4， ⊙ C2 ： （ x － 5 ）
+ （ y － 5）
2
= 16 ， 两圆
方程相减得到直线 l 的方程： 4 x + 3 y － 7 = 0 ． 在直线 l 上任取一点 G 向两圆分别作切线， 切 F， 点分别为 E ， 证明： | GE | = | GF | ．
2
立， 解集显然不空； （ 2 ） 当 M2 － 4 ＜ 0 ， 即 0 ＜ M ＜ 2 时， 由 Δ2 25 = 64 M2 c2 + 16 c2 （ M2 － 4 ） ≥ 0 ， 得 M ≥ 槡， 所 5 25 以 槡 ≤ M ＜ 2 时， 解集不空 ． 5 25 M ≥ 槡． 综上， 5 故 a 2 + b 2 + c2 25 的最小值为 槡 ． ab + 2 bc 5 （ 2011 年湖南高考题） 设 x， y ∈ Ｒ，
2 2
(
) ( 4y
2
2
+
)
待定正实数） ， 则
(x
2
+
2 2
1 y2
) ( 4y
+
2
1 x2
2
)
2
=
（ x y + 1） （ 4x y + 1） ≥ M． x2 y2 + （5 －
2
x2 y2 1 + 的最小值为 ． x +2 y +1 4 a +b +c 已知 a，b，c ＞ 0 ， 则 的 ab + 2 bc ． 设 a 2 + b 2 + c2 ≥ M （ M 为待定正实 ab + 2 bc