Q
A
解： （1）以小球为研究对象，小球在下滑过程中受到重力mg
和球面的支撑力FN。取自然坐标系，列出牛顿定律方程：
mgcos

m
dv dt


FN
mgsin

v2 m
R
切向 法向
dv dv d dv v dv dt d dt d R d
gcos v dv R d
结果表明，雨滴速度随时间按指数规律增长，雨滴作加速运动。
2.一质点以半径R=6m作圆周运动，其在自然坐标系中运动方程
为：
s bt 1 ct2 2
式中，b=2m/s，c=1.0m/s 。试求质点切向加速度与法向加速度大
小相等之前，其所经历的时间。
解： 由题设方程可知，质点圆周运动的速率为：
v ds b ct dt
8(C)9(B) 10(B) 11(C) 12(B) 13(AE) 14(BE)
二、填空题
1. 19-0.5x2;
8. 30; -j.
4i+11j ;2i-8j; 2i-4j. 9. ct/m+bt2/2m;
2. t3+8t-628; -628; 8. ct2/2m+bt3/6m
3. -gsinθ; v2/gcosθ 10. x3 , 8, 4, 4i (NS)
v0

1 m0l
(2mgl 4m0gl)I

1 m0
(2mgl

4m0 gl )(m0

1 3
m)
5.一轴承光滑的定滑轮，质量为M，半径为R，一根不能伸长的
轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一个质量为m的物体，
如图所示，已知定滑轮的转动惯量为
J 1 MR2 2
，其初角速度ω0
方向垂直纸面向里，求：

0.6c 105 c2
2.5104 s 0
1

v c
2 2
1


0.6c c
2

在S’系看来两件事不同时发生，即同时的相对性。
（2）由洛伦兹变换得：
x ' x vt 100103 0 125km
1

v2 c2
1


0.6c c
2
4. 甲乙两人所乘坐飞行器沿x轴作相对运动。甲测得两个事件的 相对时空坐标x1=6 ×104m，y1=z1=0，t1=2 ×10-4 s；x2=12 ×104m， y2=z2=0，t2=1 ×10-4 s，若乙测得这两个事件同时发生于t’时刻， 问：
T’ M T
m
mgh

1 2
mv02

1 2
J
(02

0)
v0 R0
h (2 m M) R 2 02
4mg
三、 狭义相对论
一、选择题
1(C) 2(C) 3(D) 4(D) 5(D) 6(B) 7(B) 8(B)
9(A) 10(B)
二、填空题 1. c 2. 8.89×10-7 3. c 4. 4.3×10-8 s
0
Jd
0
0
所以，停摆前所经历的时间为：
t
2J0 10.6r
k
m0
2. 如图2-9所示，一个劲度系数为 k=2.0N/m 的轻质弹簧与一轻柔 绳相连接，该绳跨过一半径为R = 0.3m，转动惯量为I = 0.5kgm2 的定滑轮，绳的另一端悬挂一质量为m的物体A。开始时，用手
将物体托住，使弹簧保持原长，系统处于静止状态。试求松手后 物体下落h=0.4m时的加速度和速度。（滑轮与轴间的摩擦可以忽 略不计）。
(v0

mg k
ln
mg kv0 mg
)

m k
(v0

gtm
)
4.如图1-8所示，具有光滑半球形凹槽的物块A固定在桌面上，质
量为 的质点从凹槽的半球面（半径为R ）的上端P点自静止下滑，
当滑至 30o 的Q点时，试求：
P
O
m
R
(1）质点在Q点的速率； （2）质点在Q点对球面的压力。
（1）定滑轮的角加速度的大小和方向
（2）定滑轮的角速度变化到ω=0时，物体上升的高度。
解： （1）对定滑轮和物体进行受力分析：
mg T ma
T 'R J
2mg
J

1 2
MR2
(2 m M) R
方向垂直纸面向上
a R
（2）物体上升过程机械能守恒：
R
6. mc2-m0c2 ,
3c 2
.
1- 1 c
7. n2 , n , n-1 .
8. 0.68
5. 80m2
9. 1.64×10-13 J
1. 一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者 A以速度v运动，求：观察者A测得其密度为多少？
解：设立方体固有棱长为l0，则根据尺缩效应观察者
解：子弹与细杆的碰撞过程，系统角动量守恒，则:
m0v0l J0
J

m0l 2

1 ml2 3
碰后上摆过程，系统机械能守恒。若要使杆与子
O m
弹保持持续转动，则杆应可摆动到铅直位置：
l
1 2
J02

m0 g 2l

mgl

1 2
J2
m0 v0 A
若动能完全转为势能， 0 ，子弹初速度最小为：
解：选雨滴的下落方向为 y轴正方向，雨滴起点为坐标原点。
按题意t=0时，y=0，v0=0。
由 分离变量并积分得
a dv m nv dt
v dv
v 1 d(m nv) t
0 m nv 0 n m nv 0 dt
1 ln m nv t nm
v m (1 ent ) n

c
c
3. 两个惯性系 S和S’ ， S’系以v = 0.6c相对于S系沿x轴运动，在 S 系中相距100km的x1和x2处同时发生了两事件。试问： （1）在S’ 系看来，两事件是否是同时发生的？ （2） S’系测得这两事件相距多远？
解： （1）由洛伦兹变换得：
t '
t

v c2
x

0
解： （1）杆对轴的转动惯量为:
O
I1

1 3
m(4r)2

16 3
mr 2
盘对轴的转动惯量为：
I2

1 2
(2m)r 2

2m(5r)2

51mr 2
4r
钟摆对轴的转动惯量为：I

I1

I2

169 3
mr 2
r
（2）由转动定律:
Mf
J
J
d
dt
kt
分离变量积分得：
t
ktdt
则其切向加速度的大小为：
aτ

dv dt

c
则其法向加速度的大小为：
an
v2 R
(b ct)2 R
按题意有 ，即：
(b ct)2 c
R
整理得：
t cR b 6 2 (s)
c
3.为了减轻冰雹灾害，现可采用发射防雹火箭的方法，根据气象 部门提供的云层高度材料，适时引爆火箭，将碘化盐催化剂溅洒
分离变量并积分得：
v

0 vdv 0 gRcosd
v 2gRsin gR
（2）将 v gR 代入法向方程得：
FN

v2 m
R
mgsin
mg mgsin
将 30o 代入得：
FN

3 2
mg
二、 刚体力学
一、选择题
1(C) 2(B) 3(C) 4(C) 5(A) 6(A) 7(D) 8(C) 9(B) 10(A）
2
2
2
v R
v 2mgx kx2
m

I R2
3．如图2-10所示，一质量为m、半径为R的圆盘，绕通过中心且
垂直盘面的轴转动，转速为n rev/s。此时将盘轻轻地放到粗糙的
水平面上，圆盘与平面间的摩擦因数为μ。
（1）试证明圆盘所受的摩擦力矩
Mf

2 mgR ；
3
（2）试问圆盘转过多少圈后会停下来？
mg kv m dv dt
分离变量并积分
t
0 mdv
0 m d(mg kv)
dt

0
v0 mg kv k v0 (mg kv )
tm

m k
ln(
mg kv0 mg
)
（2）同理
mg kv m dv m dv dy mv dv
根据洛伦兹速度变化，电子相对于 S系的速度为:
ux

1
u
'x v
v c2
u 'x
0.9c 0.5c
1

0.5c c2

0.9c

0.97c
（2）若发射的是光子，同理，u 'x c，则光子相对于 S系的速度
为:
ux

1
u
'x v
v c2
u
'x
c 0.5c
1

0.5c c2
大学物理上习题讲解
通知
《大学物理》考试定于17周周一上午 《大学物理》考前习题课：