1 1 1 n
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么
(1).当n=1时,左边= 1 1 , 右边= 1 1
1• 2 2
11 2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k
12 23
k (k 1) k 1
归纳小结，自我整合, 激升思维
由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的 重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就 会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点：
数学归纳法
人
教
版
高
中
选
修
二
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
那么n=k+1时,
左边 (1
1) (1
1)
(
1

1
)
2 23
k 1 k 2
1 1 k k 2 (k 1) 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否 则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
一、证明中需要注意的问题 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.
例1:欲用数学归纳法证明2n>n2, 试问n的第一个取值应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试, 可知初始值为n=5.
例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题
谢谢大家
人
教
版
高
中
选
修
二
①很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查， 有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。 ②试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察— 归纳—猜想—证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。 ③高考对数学归纳法主要是‘隐形’考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归 法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析 “n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.
例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 1 n(n 1)(n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。
f (k) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k) 多出了多少，是首要问题。
小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注 意不要滥用. 并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。 如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤 3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的, 如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.