人教版数学必修四模块综合测试题 (满分150分，时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列叙述中正确的是( )A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角思路解析：由正弦线、正切线的定义可知B 正确,A 中漏了直角的情况，直角终边在y 轴上，不属于第一象限也不属于第二象限. 答案：B2.若α、β的终边关于y 对称，则下列等式正确的是( )A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ思路解析：因为α、β的终边关于y 对称，所以β=2kπ+π-α,k ∈Z ，sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα.或者通过定义sinα=ry,也可判断. 答案：A3.函数y=2sin2xcos2x 是( )A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数思路解析：y=22sin4x,T=42π=2π,又f （-x ）=22sin （-4x ）=-22sin4x=-f （x ），它是奇函数.答案：A4.已知向量a =(3,2)，b =(x,4),且a ∥b ，则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-D.38思路解析：因为a ∥b ，所以3×4-2x=0，解得x=6.答案：A5.下面给出四种说法，其中正确的个数是( ) ①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m(a-b)=ma-mb ；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m-n)a=ma-na ；③若ma=mb(m ∈R)，则a=b ；④若ma=na(a≠0)，则m=n. A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：正确的命题有①②④，③当且仅当m≠0时成立. 答案：C6.已知|a|=1,|b|=2,a 与b 的夹角为60°，c=2a+3b,d=k a -b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( ) A.-6 B.6 C.514- D.514思路解析：a·b=1×2×cos60°=1.∵c ⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-b)=2ka 2-2a·b+3ka·b-3b 2=2k-2+3k-12=0. ∴k=514. 答案：D7.函数y=3cos 2x+sinxcosx-23的周期是( ) A.4π B.2πC.πD.2π 思路解析：y=212322sin 22cos 13=-++∙x x sin2x+23cos2x=sin(2x+3π)， T=22π=π. 答案：C 8.若α∈(0,2π),且tanα＞cotα＞cosα＞sinα,则α的取值范围是( ) A.(4π,2π) B.(43π,π) C.(45π,23π) D.(47π,2π)思路解析：排除法.当α=3π时，cosα＜sinα，排除A ； 当α=65π时，cotα＜cosα，排除B;当α=611π时，tanα＜cosα，排除D.答案：C9.已知|p |=22,|q |=3,p 、q 的夹角为4π，如图1，若=5p +2q ,=p -3q ,D 为BC 的中点，则|AD |为( )图1A.215 B.215 C.7 D.18 思路解析：=21(+)=21(5p+2q+p-3q)=21(6p-q)，∴||=222123621)6(21q q p p q p +∙--= =2121534cos32212)22(3622=+⨯⨯⨯-⨯π.答案：A10.要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平行移动3π个单位 B.向左平行移动6π个单位C.向右平行移动3π个单位D.向右平行移动6π个单位思路解析：由y=sin2x 到y=sin(2x-3π)关键是看x 的变化，即由x 到x-6π，所以需向右平行移动6π个单位.答案：D11.使函数y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)为奇函数，且在［0,4π］上是减函数的φ的一个值为( ) A.3π B.35π C.32π D.34π思路解析：可考虑代入法.y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+3π). 当φ=3π时，y=2sin(2x+φ+3π)=2sin(2x+32π)是非奇非偶函数，因此排除A.当φ=35π时，y=2sin(2x+φ+3π)=2sin2x 是奇函数，但在［0, 4π］上是增函数，因此排除B.当φ=32π时，符合题意，同样可排除D.答案：C12.函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图2所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( )图2A.2B.2+2C.2+22D.-2-22思路解析：由图象可知f(x)=2sin4πx 的周期为8， ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sin 4π+2sin 2π+2sin 43π=2+22.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13．已知tanx=6，那么21sin 2x+31cos 2x=________________.思路解析：原式=.111551363136211tan 31tan 21cos sin cos 31sin 21222222=++⨯=++=++x x x x x x 答案：1115514.已知AB =2e 1+k e 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k=______________. 思路解析：若A 、B 、D 三点共线，则∥，设=λ. ∵=-=e 1-4e 2,∴2e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2)=λe 1-4λe 2. ∴λ=2,k=-4λ.∴k=-8. 答案：-815.若|a +b |=|a -b |，则a 与b 的夹角为_______________. 思路解析：方法一：考虑夹角公式. ∵|a +b |=|a -b |,∴(a +b )2=(a -b )2.整理得a ·b =0,∴a ⊥b .∴a 与b 的夹角为90°. 方法二：考虑平行四边形模型.在平行四边形OABC 中，=a ,=b , 则OB =a +b ,CA =a -b ， ∵|a +b |=|a -b |，即|OB |=|AC |， ∴平行四边形OABC 为矩形. ∴a 与b 的夹角为90°. 答案：90°16.给出下列五种说法：①函数y=-sin(kπ+x)(k ∈Z )是奇函数；②函数y=tanx 的图象关于点(kπ+2π,0)(k ∈Z )对称；③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；④设θ为第二象限角，则tan 2θ＞cos 2θ，且sin 2θ＞cos 2θ；⑤函数y=cos 2x+sinx 的最小值为-1. 其中正确的是.思路解析：①∵f(x)=-sin(kπ+x)=⎩⎨⎧∈+=∈=-.,12,sin ,,2,sin Z n n k x Z n n k x f(-x)=f(x)，∴f(x)是奇函数，①对. ②由正切曲线知，点(kπ,0)(kπ+2π,0)是正切函数的对称中心，∴②对.③f(x)=sin|x|不是周期函数，③错.④∵θ∈(2kπ+2π,2kπ+π),k ∈Z ，∴2θ∈(kπ+4π,kπ+2π).当k=2n+1,k ∈Z 时，sin 2θ＜cos 2θ.∴④错.⑤y=1-sin 2x+sinx=-(sinx-21)2+45，∴当sinx=-1时，y min =1-(-1)2+(-1)=-1.∴⑤对.答案：①②⑤三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分） 已知cosα=31，且-2π＜α＜0, 求αααππαtan )cos()2sin()cot(-+∙--的值.解：∵cosα=31，且-2π＜α＜0， ∴sinα=322-,cotα=42-. ∴原式=42cos sin sin cot tan )cos(sin )cot(=-=-=--ααααααααt . 18.（本小题满分12分）已知向量OA =(3,-4),OB =(6,-3),OC =(5-m,-(3+m)).（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.解：（1）已知向量=(3,-4),=(6,-3), =(5-m,-(3+m))，若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线.∵=(3,1)，=(2-m,1-m)， ∴3(1-m)≠2-m. ∴实数m≠21时满足条件. （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB ⊥AC ， ∴3(2-m)+(1-m)=0，解得m=47. 19.（本小题满分12分） 已知f(x)=sin(2x+6π)+sin(2x-6π)+2cos 2x+a ，当x ∈［-4π,4π］时，f(x)的最小值为-3，求α的值.解：∵f(x)=sin(2x+6π)+sin(2x-6π)+2cos 2x+a =3sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+6π)+1+a.∵x ∈［-4π,4π］,∴-3π≤2x+6π≤32π.∴f(x)在［-4π,4π］上的最小值为2（-23）+1+a=1-3+a.由题意,知1-3+a=-3，∴a=3-4.20.（本小题满分12分）已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x ∈R . （1）求它的振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它的简图； （3）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ 解：y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41cos2x+43sin2x+45 =21sin(2x+6π)+45. （1）y=21cos 2x+23sinxcosx+1的振幅为A=21,周期为T=22π=π，初相为φ=6π. （2）令x 1=2x+6π，则y=21sin(2x+6π)+45=21sinx 1+45，列出下表，并描出图象如下图所示：x -12π 6π 125π 32π 1211πx 1 0 2π π 23π 2π y=sinx 1 01-1y=21sin(2x+6π)+45 4547 45 43 45(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：函数y=sinx 的图象−−−−−→−个单位向左平移6π函数y=sin(x+6π)的图象−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin(2x+6π)的图象 −−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)的图象−−−−−→−个单位向上平移45函数y=21sin(2x+6π)+45的图象, 即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象. 方法二：函数y=sinx 的图象−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin2x 的图象−−−−−→−个单位向左平移12π函数y=sin(2x+6π)的图象−−−−−→−个单位向上平移25函数y=sin(2x+6π)+25的−−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)+45的图象, 即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象. 21.（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(2π,23π). （1）若|AC |=|BC |，求角α的值；（2）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值. 解：（1）∵AC =(cosα-3,sinα),BC =(cosα,sinα-3),∴|AC |=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-，|BC |=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.由||=||,得sinα=cosα. 又∵α∈(2π, 23π)，∴α=45π. （2）由AC ·BC =-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1. ∴sinα+cosα=32.①又αααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sinαcosα.由①式两边平方,得1+2sinαcosα=94, ∴2sinαcosα=95-.∴αααtan 12sin sin 22++=95-.22.（本小题满分14分）已知=(2,1),=(1,7),=(5,1).设M 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点），当∙取最小值时： （1）求OM ；（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值.解：设=t ，则=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t).MB MA ∙=5t 2-20t+12=5(t-2)2-8.∴t=2时，MB MA ∙最小，这时OM =（4，2）. （2）由=(-3,5)，=(1,-1), ∴17174-=. ∴cosθ的值是17174-.。