蓉城名校联盟2019～2020学年度上期高中2019级期末联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

题号123456789101112
答案
B
D
A
C
B
C
D
C
D
B
B
A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．14．π5πππ
(
,212212
k k k -+∈，Z 15．511
-
16．
52
三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（每小题5分，共10分）解：
（
1）原式2ln 2lg5lg 2lg51
e =++-+……………………3分2lg5lg 21=+++……………………4分4
=……………………5分
（2）1sin sin cos 0cos 0cos 22
ααααα=
<∴<⇒= ，， (1)
分原式sin()cos()
sin()cos()2sin()
ααααα---+=
+……………………3分
cos cos 2sin ααα-=+322
--
=（……………………5分
（17题阅卷时请给步骤分）18．（12分）
解：设点(,)P x y ，(1,2)C ，)
0,4(A ……………………2分又平行四边形OABC ，(4,0)OA CB ==
……………………3分由CP CB λ=
，即(1,2)(4,0)
x y λ--=……………………4分λ41+=∴x ，2
=y ……………………6分（1）当21
=
λ时，即：32x y ==，……………………7分)
2,3(P ∴……………………8分
（2）(14,2)OP λ=+
，(43,2)
AP λ=-
由OP AP ⊥，0
OP AP ∴⋅=
……………………9分即(41)(43)40λλ+-+=，216810
λλ-+=……………………10分14104
λλ-==
，……………………12分
（若用其他方法，同等给分）
19．（12分）解：
（1）①当1a =时，()0f x =，()f x 既为奇函数又为偶函数
……………………1分
证明：11()()11x x x
x a a f x f x a a ----+-=+++11011x x
x x
a a a a --=+=++()f x ∴为奇函数
……………………6分
（2）当2=a 时，21
()21
x x f x -=+为增函数
证明：任取12x x >，
则212
1212121
()()2121
x x x x f x f x ---=-++212112212122212221(21)(21)
x x x x x x x x x x +++---+-+=
++……………………8分
212
12(22)(21)(21)
x x x x -=++21x x > ，21220x x >>()f x ∴在R 上为增函数
……………………10分
21()21x x f x -∴=+在[]1,2-上的值域为：13,35⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦要使()10f x m +-=在[]1,2-上有零点，则28,35m ⎡⎤
∈⎢⎣⎦
……………………12分
（若用其他方法，同等给分）20．（12分）解：（1）
x ωϕ
-0π2π3π22πx
π12π3
7π12
5π613π12
()
f x 0
3
3
-0
π
()3sin(26
f x x =-最小正周期πT =，
（2）第一步：x y sin =的图象向右平移=
ϕπ6（个单位长度）得到=1y π
sin(6
x -的图象.第二步：1y 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的
21倍得到2π
sin(2)6
y x =-的图象.第三步：2y 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象．
（共有10空，其中()f x 的表达式3分，其余每空1分）21．（12分）解：
（1）π
12
m θ==
当，时，a =(2,1)，b =(1,0)……………………1分a -b (1,1)=∴，||-a b
……………………3分cos ＜a ,b ＞=
⋅⋅a b
a
b 5
=……………………5分
（2）()f θ=⋅a b sin cos θθ
++2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ
=++++……………………6分令sin cos t θθ+=
，则22sin cos 1[t t θθ⋅=-∈，……………………7分
设22()2(21)[=+-+=++-∈，h t mt mt m t mt m t m t ①当0m =
时，min ()()(h t t h t h ===，……………………8分
②当0m <时，函数()h t 的对称轴为1(12=-+t m （或21
2+=-
m t m
）当1
(1)02m -+
>（或2102+-
>m m
），即210->>m
时，min ()((1h t h m ==-…………………10分
当1(1)02m -+
（或2102+-
m m
），即1
2m -
时，min ()1)h t h m ==++ (11)
分
1(102
()1(12m m g m m m ⎧--<⎪⎪∴=⎨⎪+-
⎪⎩
…………………12分
（若用其他方法，同等给分）22．（12分）
解：（1）函数)(x f 的定义域为R ，即2
10mx mx -+ 在R 上恒成立
当0=m 时，10 恒成立，符合题意
……………………1分当0≠m 时，必有00<4
0m m >⎧⇒⎨∆⎩
……………………3分综上：m 的取值范围是[]04，
……………………4分
（2
）()()g x f x x x
=-=- (ln )0g x ∴ ，对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立，
等价于22
0(ln )ln 1(ln )m x m x x -+ 在2[,]x e e ∈总成立
………………5分即：()222
(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )
m x m x m x m x x ⎧-+*⎨-+⎩ 在2[,]x e e ∈上恒成立………………6分
设：x t ln =，因为2[,]x e e ∈，所以[]1,2t ∈，
不等式组()*化为222
()10
()1m t t m t t t
⎧-+⎨-+⎩ []1,2t ∈时，20t t - （当且仅当1=t 时取等号）
1=t 时，不等式组显然成立
………………7分
当(]12t ∈，时，22222
21()10()11
m m t t t t
m t t t t m t t ⎧
-⎪⎧-+⎪-⇒⎨⎨-+-⎩⎪⎪-⎩ 恒成立………………8分
22111
11224
t t t -
=-
--+-（ ，即12m - ………………10分
221111t t t t t t -+==+-在(]1,2上递减，所以11t +的最小值为32，3
2
m …………………11分
综上所述，m 的取值范围是13,.22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
…………………12分
（若用其他方法，同等给分）
1
1
l 2
l x
y
解析：
12．易知当0k >，0x 时，()2
2
2
272(24
k f x x kx k x k =++=++
，()f x 的图象如图所示.
当直线y k =在图中1l 的位置时，
22724k k k <<，得1427
k <<，m n ，为方程222x kx k k ++=的两根，
即22
20x kx k k ++-=的两根，故2
2mn k k =-；而1ab =则2211327
2121,22232
mn ab k k k k k k +-
=-+-=-+＜即2
64485k k -+＜0，解得1
58
8
k ＜，所以1427
k ＜＜；
当直线y k =在图中2l 的位置时，22k k 且0k ＞，得102
k ＜ ；此时0
n =则1127
12232
mn ab k k +-=-＜，得51162k < .
所以，k 的取值范围是54(
,)167
.16
．()22
51616533x x g x x x x -+==+-=+ ，当4x =时，()3g x =；
因为12ππ1
sin(2362
x --- ，所以()52f x ；而()542f =，所以()min 52f x =.。