例1 解
计算

0
xe
x2
d x.

0
xe
x2
d x lim
A

A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记

a
f ( x) d x lim
A

A a
0

0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分

当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c

f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.

a
f ( x) d x
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
g ( x) f ( x) 0，
则 (1) 当 ( 2) 当
a a
g ( x) d x 收敛时，积分 f ( x) d x 发散时，积分

a a
f ( x) d x 也收敛 . g ( x) d x 也发散 .
F (b) lim F ( x) .
x

lim F ( x) lim F ( x) .
x x
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例2
计算
0

0
dx . 2 1 x
0
解

dx arctan x 2 1 x
x
1 2 d x 1 t 故 dt , 4 0 1 x 2 0 t2 1 t2 1 1 令 u t , 则 d u (1 2 ) d t , t t 1
且 t : 0 时， u : , 从而,

0
dx 1 d u 4 1 x 2 u 2 2

a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :

a
f ( x) d x 收敛 .
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无 穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准 之一 .
例9 解
判别无穷积分
3
1
dx 的敛散性. 4 x 1
由于
0
3
1 4 x 1
1 1 3 x4/3 x4
4 而 p 1 的 P 积分 3


1 x
4/3
1
d x 收敛 , 故
无穷积分

3
1
dx 收敛 . 4 x 1
读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
ˆ ( x0 , ) 内无界，则称点x0 为 0，若函数 f ( x) 在 U
1 1 u arctan 2 2 2

1 1 . 2 2 2 2 2 2
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际上, 我们可以将无穷积分的 定义式写成下面的形式 :

a
f ( x) d x lim
x

x a
f (t ) d t ; f (t ) d t .

b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )

a
dx ln | x | x
a
lim ln | x | ln a ,
x
故 p 1 时， P 积分发散 .
当 P 1 时:

a
d x x1 p x 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1, p 1.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十七讲 广义积分
主讲:岑利群
第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分
二、瑕积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界
函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计
算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.

证
(1) 若积分

a
g ( x) d x 收敛 ，则下列极限存在
x
lim

x a
f (t ) d t I .
由于有极限的量在该极 限过程中必有界 , 故可知
G ( x) g (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 .
a
x
由 a x 时, 0 f ( x) g ( x) 得
若 0 , f ( x ) R ( [ a , b] ) , 记

b a
f ( x) d x lim
0
b a
f ( x) d x ,
称之为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .


1
ln x d x. 2 x
ln x
运用分部积分法

1 x
1 x2 1 x
ln x ln x 1 1 x 2 d x x 1 1 x 2 d x d x 罗 2 ln x 1 1 x lim lim 0 x x x x 1 1 x
a

a
g ( x) d x .

a

u ( x)v( x) d x .
(5) 无穷积分也可按照定积 分的换元法进行计算 .
(6) 若在 [a, ) 上 f ( x) g ( x) , 则

a
f ( x) d x
a
g ( x) d x .
例6 解
计算
发散
收敛
综上所述，
P－积分

a
dx (a 0) p x
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分 均存在，则
(1) ( 2) (3) ( 4)

a a a a
f ( x) d x
a
a
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分

a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果

a
f ( x) d x 发散时 , 积分
lim arctan x arctan 0


2
.
例3
解
计算
dx 1 x 2 .

dx 1 x 2 arctan x

lim arctan x lim arctan x
x x


2
(

2
)
y
.
O
1 1 y 1 x2
函数 f ( x) 的一个瑕点 .
1 例如： x a 是 f ( x) 的一个瑕点； xa
x 1 是 g ( x) ln(1 x 2 ) 的瑕点.
x a 是 h( x )
1 的瑕点. 2 2 x a
(2) 瑕积分的概念
设 f ( x) 在 (a, b] 上有定义 , x a 为其瑕点 .
为书写方便起见，若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则约定

a b
f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x) f ( x) d x F ( x)
0
lim F ( x) F (a) .
x
b
x
例4
计算

0
x d x. 2 1 x
0
解

0
x 1 2 d x ln( 1 x ) 2 1 x 2
1 lim ln( 1 x 2 ) 0 x 2